Решение дифф. уравнения 2-го порядка методом Эйлера

[Limit79]

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, решить задачу Коши

$$y''+2y'+5y=-8e^{-x} \sin(2x), \quad y(0)=2, \quad y'(0)=6$$

методом Эйлера на отрезке $[0;1]$ с шагом $h=0.1$.

Понимаю, что задача сводится к решению системы из двух дифф. уравнений, но как решать системы из двух дифф. уравнений методом Эйлера -- не знаю. Прочитал в интернете много информации, но так и не получилось.

Как решать уравнения первого порядка методом Эйлера -- знаю, а вот как решать уравнения второго порядка (по сути систему из 2-х уравнений первого порядка) -- не знаю :/

Как делаю я:

Решаю исходное уравнение относительно второй производной

$$y''=-8e^{-x} \sin(2x) - 2y' - 5y$$

Далее ввожу замену $y'=z \Rightarrow y''=z'$, получаю систему дифф. уравнений

$$z'=-8e^{-x} \sin(2x) - 2z - 5y \qquad y'=z \qquad z(0)=6 \qquad y(0)=2$$

Далее, пусть начальные условия

$$x_{0}=0 \qquad y_{0} = 2 \qquad z_{0}=6$$

Количество точек решения

$$i=0,1..9$$

Расчетные формулы

$$x_{i+1} = x_{i} + h$$

$$z_{i+1} = z_{i} + h \cdot f_{1} (z_{i})$$

$$y_{i+1} = y_{i} + h \cdot f_{2} (x_{i},y_{i},z_{i})$$

где

$$f_{1} (z) = z \qquad f_{2}(x,y,z) = -8e^{-x} \sin(2x) - 2z - 5y$$

В результате всего этого получаю неверное решение (которое вообще не совпадает с точным решением):

Чую, что что-то не так в расчетных формулах, но не могу понять что... Подскажите, пожалуйста!

[Limit79]

UPD: Хотел убрать скриншот под спойлер, но уже не могу редактировать стартовый пост.

Скриншот приведен только для полноты картины, все формулы из него набраны выше в Техе.

[ewert]

Как минимум Вы перепутали $f_1$ и $f_2$.

[Limit79]

ewert
Спасибо большое, получилось!

Правда в таком случае, маткад почему-то ругается на рекуррентные формулы, и приходится все $10$ значений $z_{i}$ и $y_{i}$ считать последовательно.

[ewert]

Limit79 в сообщении #928175 писал(а):

маткад почему-то ругается на рекуррентные формулы

Я в Маткаде не больно-то слаломирую. Но, по идее (по общеалгоритмической идее), он и должен ругаться: у Вас явный выход за пределы массива (сначала Вы объявили его до эн, а потом пытаетесь обратиться к эн плюс первому элементу).