Доказательство неотрицательности

[Bobochka]

Есть выражение:
$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_i^2-x_1x_2-x_2x_3-...-x_{i-1}x_i$

Как доказать, что оно неотрицательно для любого x?

[Brukvalub]

Это квадратичная форма, для квадратичных форм есть критерий Сильвестра.

[TOTAL]

Bobochka писал(а):

Есть выражение:
$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_i^2-x_1x_2-x_2x_3-...-x_{i-1}x_i$

Как доказать, что оно неотрицательно для любого x?

Докажите для такого:
$x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+x_i^2-2x_1x_2-2x_2x_3-...-2x_{i-1}x_i$

[Bobochka]

Brukvalub писал(а):

Это квадратичная форма, для квадратичных форм есть критерий Сильвестра.

У меня нет конкретных чисел. Так что этот критерий, если я правильно понимаю, не подходит.

Добавлено спустя 6 минут 4 секунды:

Re: Доказательство неотрицательности

TOTAL писал(а):

Bobochka писал(а):

Есть выражение:
$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_i^2-x_1x_2-x_2x_3-...-x_{i-1}x_i$

Как доказать, что оно неотрицательно для любого x?

Докажите для такого:
$x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+x_i^2-2x_1x_2-2x_2x_3-...-2x_{i-1}x_i$

Ок, а как доказывать-то?) Какой метод?

[TOTAL]

Bobochka писал(а):

Ок, а как доказывать-то?) Какой метод?

А для такого $x_1^2+x_2^2-2x_1x_2$ ?

[Brukvalub]

Bobochka писал(а):

У меня нет конкретных чисел. Так что этот критерий, если я правильно понимаю, не подходит.

А коэффициенты перед слагаемыми квадратичной формы - они, что, неконкретные? Вы все неправильно понимаете.

[Bobochka]

TOTAL писал(а):

Bobochka писал(а):

Ок, а как доказывать-то?) Какой метод?

А для такого $x_1^2+x_2^2-2x_1x_2$ ?

Если слагаемых больше 2х там же знаки удвоенных произведений будут чередоваться...

[PAV]

Интересно, а если переписать так
$x_1^2-2x_1x_2+x_2^2$
то это ничего по внешнему виду не напоминает?

[Bobochka]

PAV писал(а):

Интересно, а если переписать так
$x_1^2-2x_1x_2+x_2^2$
то это ничего по внешнему виду не напоминает?

Я не настолько туп, как кажется)) К виду
$(x_1-x_2-...-x_i)^2$ не получится привести, ибо там будут произведения разных иксов чередоваться по знаку.

[TOTAL]

Bobochka писал(а):

TOTAL писал(а):

А для такого $x_1^2+x_2^2-2x_1x_2$ ?

Если слагаемых больше 2х там же знаки удвоенных произведений будут чередоваться...

А для такого $x_2^2+x_3^2-2x_2x_3$ ?

[PAV]

Вы для начала отделите слагаемое $(x_1-x_2)^2$, а затем посмотрите, что останется.

[Bobochka]

TOTAL писал(а):

Bobochka писал(а):

TOTAL писал(а):

А для такого $x_1^2+x_2^2-2x_1x_2$ ?

Если слагаемых больше 2х там же знаки удвоенных произведений будут чередоваться...

А для такого $x_2^2+x_3^2-2x_2x_3$ ?

Все, дошло. Туплю после зачета)) Спасибо!)