О теореме Т.Берри

[scwec]

Дан треугольник на плоскости с длинами сторон $a,b,c$ такими, что $a^2,b^2,c^2$ рациональные числа и хотя бы одно из чисел $a,b,c$ - рациональное.
Пусть точка $P$ на плоскости такова, что три расстояния от неё до вершин треугольника - рациональные числа.
Т.Берри доказал теорему о том, что множество точек $P$ всюду плотно на плоскости.
Докажите, что в этой теореме нельзя избавиться от условия "хотя бы одно из чисел $a,b,c$ - рациональное".
(Для этого достаточно найти на плоскости хотя бы один треугольник с иррациональными длинами сторон
$\sqrt{m},\sqrt{n},\sqrt{k}$, где $m,n,k$ натуральные числа и для которого на плоскости
нет ни одной точки с рациональными расстояниями до всех вершин треугольника).

[scwec]

Сам Т.Берри в качестве такого треугольника выбрал треугольнк со сторонами $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$. Правда, он не доказывал для него отсутствие точек на плоскости с рациональными расстояниями до вершин, сказав просто, что это делается элементарными методами, хотя само доказательство упомянутой выше его теоремы о плотности точек $P$ на плоскости хитроумно и неэлементарно.
Конечно, кроме треугольника $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$ существует и бесконечное множество других.
Докажите, например, что таковым (т.е. для него не найдется ни одной точки на плоскости с рациональными расстояниями до его вершин) является треугольник со сторонами $\sqrt{2},\sqrt{2},\sqrt{2}$.

[scwec]

А вот для треугольника со сторонами $\sqrt{3}$, такие точки (с рациональными расстояниями до вершин) всюду плотны на линиях высот.
И, может, быть, всюду плотны на плоскости. Пока не проверял. Но похоже.