Коэффициент перед x^5 в определителе

[Yhn112]

Вопрос, собственно: чему равен коэффициент перед $x^5$ в определителе?

$$ \left|\begin{array}{ccccccc} x & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & x\\ 7 & 4 & 4 & 4 & 4 & x & 4 \\ 7 & 4 & 8 & 8 & x & 8 & 8\\ 7 & 4 & 8 & x & 10 & 10 & 10\\ 7 & 4 & x & 10 & 0 & 0 & 0\\ 7 & x & 8 & 10 & 0 & 6 & 6\\ x & 4 & 8 & 10 & 0 & 6 & x\\ \end{array}\right| $$

Я не могу придумать ничего проще, чем считать определитель в лоб (через миноры или через перестановки по определению), но это получается очень долго, а задача по идее должна быть не очень сложной. Подскажите, пожалуйста, если это возможно, какой-то менее сложный метод подсчета.

[ex-math]

Надо из пяти столбцов выбрать $x$, а из оставшихся двух --- число. Это можно сделать довольно небольшим числом способов.

-- 04.11.2014, 23:03 --

Разумеется, чтобы строчки не повторялись.

[provincialka]

Бредовая идея: может, производную взять? Определитель - многочлен 7 степени, его пятая производная в 0 выражается как раз через нужный коэффициент.

[Sender]

ex-math в сообщении #926753 писал(а):

Надо из пяти столбцов выбрать $x$, а из оставшихся двух --- число.

К тому же можно вспомнить о несложных преобразованиях, оставляющих определитель неизменным.

[provincialka]

Кстати, этот определитель является многочленом пятой степени, так что искомый коэффициент в нем - старший.

(Оффтоп)

Я сжульничала: нашла в Excel этот определитель для большого значения $x$, а потом поделила на $x^5$. Ответ "хороший".

[ИСН]

(Оффтоп)

$\text{не-скажу-сколько }x^5+354 x^4-6516 x^3+43848 x^2-124960 x+128576$
ну надо же, а.

[provincialka]

(Оффтоп)

ИСН, а у меня получился знак другой.

[ИСН]

(Оффтоп)

Знак перед чем? Я про искомый коэффициент не сообщал ничего, в том числе и знака.

[provincialka]

ИСН в сообщении #927051 писал(а):

(Оффтоп)

Знак перед чем? Я про искомый коэффициент не сообщал ничего, в том числе и знака.

(Оффтоп)

Не могу сказать, перед чем. Секретность нарушится

[Sonic86]

Ну вот я взял и продифференцировал в общем виде определители 2-го и 3-го порядка и у меня все естественно сгруппировалось и я сразу увидел общую формулу и ее способ доказательства через алгебраическое определение определителя.
Вы ее нашли, ее имели ввиду? Она Вас не удовлетворяет?

Определитель мы считаем за $O(n^3)$, $n$ определителей порядка $n$ - за $O(n^4)$, ну да, многовато...

Можно попытаться воспользоваться конечными разностями, но там тоже получается надо считать $n$ определителей порядка $n$.
Или действительно можно проще?
Вычислить определитель в лоб и продифференцировать - $O(n^3)$ ? Наверное нет...

[provincialka]

Sonic86 в сообщении #927164 писал(а):

Вычислить определитель в лоб и продифференцировать - $O(n^3)$ ? Наверное нет...

В этой задаче дифференцировать не придется. Это многочлен пятого порядка.

[ex-math]

Да кто ж говорит о том, чтобы вычислять определитель. Вычислите только коэффициент при $x^5$, я выше написал как. А с учетом замечания Sender там работы на пять минут.

[Sonic86]

ex-math в сообщении #927194 писал(а):

Да кто ж говорит о том, чтобы вычислять определитель. Вычислите только коэффициент при $x^5$, я выше написал как. А с учетом замечания Sender там работы на пять минут.

Все, я понял. Я просто сначала пытался в общем виде сделать. Тем более, что тут и степень многочлена недалеко ушла.
Однако, если считать коэффициент при 3-й степени, то придется все-таки помучится.

[provincialka]

При таком расположении "иксов" от определителя нужна только "рамочка", числа в крайних строках и столбцах.