математическая формализация понятия силы тока

[rambler87]

Насколько измениться процесс вывода определения если принять 1 - заряд дискретно распределен в пространстве, 2 - заряд непрерывно распределен в пространстве

Определение тока частиц (зарядов) через рамку площадью s. Для упрощения положим, что рамка перпендикулярна потоку частиц. Вначале составляем общий дифференциал, исходя из определения силы тока через рамку - затем его расписываем и выносим, сокращаем постоянные или зависимые не от времени t - функции?

$q$-заряд, $dn/dv = p$ - плотность заряда - здесь мы отходим от реальности и говорим, что заряд не дискретен (если мы это не сделаем, то пределы при объеме стремящемся к нулю (плотность), а также и при отрезке времени стремящимся к нулю (скорость рамки) мы не можем решить.

$ dr/dt $- скорость движения единичного заряда $s*dr/dt*t $- объем потока тока "прошедшего через рамку"

$ p*v $- заряд прошедший через рамку

$ s$ - площадь рамки

$dr/dt$ - мгновенная скорость движения заряда - как предел по времени

$t $- время

$dq/dt = d(p*v)/dt = d(dn/dv*s*dr/dt*t)/dt = dn/dv*s*dr/dt $

Если рассматривать плотность заряда только по среднему значению -то есть, учитывая, что заряд в пространстве распределяется дискретно - имеем ли мы тут право брать предел по времени, или можем рассматривать только какой-то интервал времени? - и тот и другой путь ведет к одному решению.
Спасибо
PS
Вообще насколько справедливо рассматривать плотность чего-либо как предел отношения величины к объему при стремлении последнего к нулю? Как разрешить такого рода проблему с точки зрения математического формализма? У Purcell рассматривается плотность как количество частиц (заряженных) в одном сантиметре кубическом - соответственно, мы не можем рассматривать (формально) какой-то бесконечно малый объем
PPS
В физике часто рассматривается следующий переход: какие-то изменение величины - отношение одного изменения к другому - предел отношения когда один из интервалов стремится к какому-либо значению (обычно к нулю) - дифференциал

Насколько данная формализация аналогична и справедлива с точки зрения математического формализма?

[Munin]

Плотность пишется греческой буквой "ро", \rho.

Умножение писать звёздочкой - очень дурной тон. Умножение пишут одним из таких способов:
- вообще никак;
- точка \cdot;
- крестик \times.
В первом случае, бывает ситуация, когда буквы нежелательно сливаются, тогда можно вставить между ними пробел \, .

Если у вас в выражении несколько вложенных дробей, то их не стоит все писать "в строчку". Стоит написать их "двухэтажно":
- команда \frac{}{} наиболее общая;
- команда \dfrac{}{} делает числитель и знаменатель неуменьшенным шрифтом;
- команда \tfrac{}{} делает числитель и знаменатель уменьшенным шрифтом.

Например: $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dn}{dv}s\dfrac{dr}{dt}t\right)$

-- 02.11.2014 22:28:19 --

rambler87 в сообщении #925481 писал(а):

Определение тока частиц (зарядов) через рамку площадью s. Для упрощения положим, что рамка перпендикулярна потоку частиц.

Когда говорят про рамку, то подразумевают, что поверхность, натянутая на эту рамку, может быть натянута произвольно, и сдвинута туда-сюда. Здесь не тот случай, и надо говорить про фиксированную площадку.

rambler87 в сообщении #925481 писал(а):

здесь мы отходим от реальности и говорим, что заряд не дискретен (если мы это не сделаем, то пределы при объеме стремящемся к нулю (плотность), а также и при отрезке времени стремящимся к нулю (скорость рамки) мы не можем решить.

Идея вот какая.

Сначала мы "тренируемся" на непрерывном распределении, и выводим все нужные формулы. Они оказываются правильными, не только для некоторого однородного распределения заряда в пространстве $\rho=\mathrm{const},$ но и для некоторого неоднородного распределения $\rho=\rho(x,y,z).$ Для такого распределения тоже можно ввести понятие плотности тока, если взять производные и дифференциалы - достаточно маленькими, меньше размеров неоднородностей этой функции.

А после того, как мы убедились, что все формулы работают для любого распределения, то мы можем сделать это распределение более "реалистичным" (с точки зрения классической физики, без учёта квантовых эффектов, уж извините), такого типа: плотность равна нулю везде между заряженными частицами, и не равна нулю в самих заряженных частицах. Можно считать заряженные частицы очень маленькими плотными заряженными шариками постоянной плотности. А можно даже взять предел при размере шарика $\to 0,$ который называется "дельта-функция": это функция, которая везде нуль, кроме одной точки, где она устремляется в бесконечность, но интеграл от этой функции остаётся единицей. Здесь нам это и нужно: заряд каждой заряженной частицы должен быть единица, а плотность - пусть будет бесконечной, если объём нулевой.

Это приведёт к тому, что ток через заданную площадку будет не постоянной величиной, и даже не какой-то гладкой функцией, а серией "вспышек". И это так и есть в экспериментах: при достаточно тонком и точном измерении тока, можно наблюдать так называемый дробовый шум, связанный с тем, что электроны проходят через провод поштучно, как капли дождя "дробят" по крыше.

Но если мы не исследуем такие тонкие явления, то нам проще усреднить все наши величины: плотность заряда усреднить по объёму, ток - по времени, и в итоге вернуться к обычным гладким функциям. Про них говорят "макроскопические".

[rambler87]

Большое спасибо за развернутый ответ и рекомендации по оформлению!
Исправлю для практики все это.
PS
То есть, во втором приближении, когда мы рассматриваем распределение заряда как распределение дискретных частиц в пространстве, в процессе усреднения мы пришли во общем-то к такой-же мат формализации понятия силы тока, как когда положили распределение заряда по пространству непрерывным?

[Munin]

Да.

Но вот не надо говорить "во втором приближении". Номера приближений - это вполне конкретная штука. Это когда вы раскладываете какую-то функцию в ряд, например, в степенной ряд вокруг точки или вокруг бесконечности, тогда вы говорите:
- $f(x)=f_0+\ldots$ - это нулевое приближение;
- $f(x)=f_0+f_1(x-x_0)+\ldots$ - это первое приближение;
- $f(x)=f_0+f_1(x-x_0)+f_2(x-x_0)^2+\ldots$ - это второе приближение;
и так далее.