Пара задач по динамике

[tech]

Здравствуйте.
Хочу задать несколько вопросов по некоторым задачам:
1) Однородная палочка $AB$ длины $2a$ шарнирно закреплена в точке $B$. От конца $B$ палочки начинает двигаться материальная точка $D$, масса $m$ которой равна массе палочки. В начальный момент палочка находилась в горизонтальном положении, получив толчок, она начинает вращаться в вертикальной плоскости по часовой стрелке. Определить, за какое время точка $D$ достигает конца $A$ палочки, если она движется таким образом, что угловая скорость $\omega$ палочки остается постоянной.

(Оффтоп)

Не могу сообразить, как возможно движение с постоянной угловой скоростью, ведь постоянство угловой скорости означает, что момент относительно оси, проходящей через точку $B$, равен $0$. Однако обе $m\textbf{g}$ создают сонаправленные моменты, а больше внешних сил нет (не считая силы со стороны шарнира, но она момента не создаёт).

2) Однородный цилиндр радиуса $R$ и веса $mg$ катится по шероховатой горизонтальной плоскости (коэффициент трения скольжения $f=1/8$) под действием постоянной горизонтальной силы $Q$. Найти ускорение центра $C$ цилиндра и угловое ускорение цилиндра в двух случаях: а) $Q=mg/3$; б) $Q=mg$.

(Оффтоп)

Меня смутил ответ в задачнике в случае б): $w_C=9g/8, \varepsilon=7g/4R$
Мой ответ: $w_C=7g/8, \varepsilon=9g/4R$.
Кто прав?

На всякий случай: в б) качение будет с проскальзыванием, сила трения противонаправлена $\textbf{Q}$ и по величине равна $mg/8$.

И ещё такой вопрос, возможно, несколько странный:
Когда мы проверяем, возможно ли в данной ситуации качения без проскальзывания, то накладываем доп. условие $w_c=\varepsilon R$. И если найденная сила трения оказывается меньше (или равна) $\mu N$, то мы говорим, что качение без проскальзывания возможно. Но оно ведь только возможно, почему оно обязательно реализуется?

[DimaM]

tech в сообщении #925825 писал(а):

постоянство угловой скорости означает, что момент относительно оси, проходящей через точку $B$, равен $0$

Не означает: при постоянной угловой скорости момент импульса будет меняться за счет изменения момента инерции.

tech в сообщении #925825 писал(а):

Кто прав?

Правы составители задачника.

tech в сообщении #925825 писал(а):

На всякий случай: в б) качение будет с проскальзыванием, сила трения противонаправлена $\textbf{Q}$ и по величине равна $mg/8$.

Качение будет с проскальзыванием, но вы неверно определили его направление (поглядите на величины линейного и углового ускорений).

[tech]

DimaM в сообщении #925862 писал(а):

Не означает: при постоянной угловой скорости момент импульса будет меняться за счет изменения момента инерции.

А, понял.

$$\frac{d}{dt}(I\omega)=\frac{d I}{dt}\omega\ne0$$

DimaM в сообщении #925862 писал(а):

Качение будет с проскальзыванием, но вы неверно определили его направление (поглядите на величины линейного и углового ускорений).

А вот это не понял. Я поглядел, но мне это не помогло.
При скольжении сила трения может быть направлена по движению?

[DimaM]

tech в сообщении #925879 писал(а):

А вот это не понял. Я поглядел, но мне это не помогло.

Поглядите еще раз. Получается $\varepsilon R>a$. Что это означает - в какую сторону прокручивается цилиндр?

tech в сообщении #925879 писал(а):

При скольжении сила трения может быть направлена по движению?

Запросто. Зимой это сплошь и рядом можно наблюдать при троганье с места автотранспорта.

[tech]

DimaM в сообщении #925908 писал(а):

Что это означает - в какую сторону прокручивается цилиндр?

Если $\varepsilon R > a$, то цилиндр прокручивается по часовой стрелке. Но я всё ещё не понимаю.

[DimaM]

tech в сообщении #925958 писал(а):

Если $\varepsilon R > a$, то цилиндр прокручивается по часовой стрелке. Но я всё ещё не понимаю.

Тут чуточку уточню - в какую сторону движется нижняя точка цилиндра?
И остался последний шаг - вспомнить, что сила трения направлена против проскальзывания.

[Oleg Zubelevich]

tech в сообщении #925825 писал(а):

Определить, за какое время точка $D$ достигает конца $A$ палочки, если она движется таким образом

хорошо еще бы знать по каким причинам она движется таким образом

[tech]

DimaM в сообщении #925959 писал(а):

Тут чуточку уточню - в какую сторону движется нижняя точка цилиндра?
И остался последний шаг - вспомнить, что сила трения направлена против проскальзывания.

Теперь понятно.
Но направление силы трения мы всё-таки выбираем методом тыка?
Выбрали произвольно, получили противоречие – плохо.
Выбрали другое, проверили, что противоречий нет.

[DimaM]

tech в сообщении #925995 писал(а):

Но направление силы трения мы всё-таки выбираем методом тыка?
Выбрали произвольно, получили противоречие – плохо.
Выбрали другое, проверили, что противоречий нет.

По-хорошему, стоит посмотреть, какими должны быть величина и направление силы трения при условии отсутствия проскальзывания. Если величина получается меньше, чем $\mu N$, сила трения такой и будет. Если больше, то появится проскальзывание (сила трения будет $\mu N$), но направление силы трения сохранится.

[tech]

DimaM
Поначалу я эту проверку и осуществил, и действительно получил, что сила трения сонаправленна с $\textbf{Q}$, однако в пункте а) качение происходит без скольжения, а в пункте б) – со скольжением, и там я по незнанию этого факта сменил направление силы трения.
А как это объяснить? Что-то вроде: было бы странно, если бы с увеличением $Q$, сила трения всё росла бы, сохраняя сонаправленность с $\textbf{Q}$, а потом по достижении определённой величины $Q$, резко бы поменяла направление?

[DimaM]

tech в сообщении #926024 писал(а):

А как это объяснить? Что-то вроде: было бы странно, если бы с увеличением $Q$, сила трения всё росла бы, сохраняя сонаправленность с $\textbf{Q}$, а потом по достижении определённой величины $Q$, резко бы поменяла направление?

Лучше, наверно, так. Нижняя точка цилиндра стремиться проскальзывать назад. До некоторой величины $Q$ этому препятствует сила трения, но она достигает предела, после чего проскальзывание таки начинается.

[tech]

А что можно сделать в первой задаче?
Вот, что я получил:
$\dot{J} \omega=mga\cos(\omega t)+mg\rho\cos(\omega t)$, $\rho$ - расстояние $BD$.

$J=\frac{4}{3}ma^2+m\rho^2$

$2\omega \rho \dot{\rho}=g\cos(\omega t)(a+\rho)$

Однако я понятия не имею, какую полезную информацию можно извлечь из этого уравнения.
Может, можно ещё какие-то уравнения записать? Во втором законе Ньютона неведомая сила со стороны шарнира. ЗСЭ не записать, потому что непонятно, кто двигает эту самую точку $D$ (да и начальные скорости неизвестны).

[DimaM]

tech в сообщении #926150 писал(а):

Однако я понятия не имею, какую полезную информацию можно извлечь из этого уравнения.

Его можно проинтегрировать, разделив переменные.

[tech]

Чёрт, и правда ведь. Теперь даже стыдно, что задал такой вопрос.
Но в любом случае спасибо за помощь.

[Oleg Zubelevich]

tech в сообщении #926150 писал(а):

Может, можно ещё какие-то уравнения записать?

хорошая мысль