Параметрическое уравнение дуги (сфера + плоскость)

[Limit79]

Доброго времени суток, уважаемые форумчане!

Для вычисление криволинейного интеграла по дуге кривой, мне понадобилось параметризировать данную дугу.

Дуга задана следующим образом:

$$x^2+y^2+z^2=4, \quad x=-y \quad (y \geqslant 0)$$

Подставляя уравнение плоскости $x=-y$ в уравнение сферы $x^2+y^2+z^2=4$ получаем:

$$(-y)^2+y^2+z^2=4$$

или

$$2y^2+z^2=4$$

или

$$\frac{y^2}{(\sqrt{2})^2} + \frac{z^2}{2^2} = 1$$

То есть заданная сфера и плоскость пересекаются по эллипсу с полуосями $a=\sqrt{2}$ и $b=2$.

Параметрическое уравнение эллипса

$$y=\sqrt{2} \sin(t) \quad z = 2 \cos(t) $$

Так как $y \geqslant 0$, то $\sqrt{2} \sin(t) \geqslant 0$ или $0 \leqslant t \leqslant \pi$

Так как $x=-y$, то $x=-\sqrt{2} \sin(t)$

И, окончательно, искомое параметрическое уравнение дуги имеет вид:

$$x=-\sqrt{2} \sin(t) \quad y=\sqrt{2} \sin(t) \quad z = 2 \cos(t) \quad 0 \leqslant t \leqslant \pi$$

Подскажите, пожалуйста, это верно?

Мое пространственное представляет не понимает, как плоскость может пересекать сферу по эллипсу, а не по окружности

Спасибо!

[Nemiroff]

Limit79 в сообщении #925717 писал(а):

То есть заданная сфера и плоскость пересекаются по эллипсу с полуосями $a=\sqrt{2}$ и $b=2$.

Не то есть. Второе уравнение вы куда дели?

[Otta]

Limit79 в сообщении #925717 писал(а):

Мое пространственное представляет не понимает, как плоскость может пересекать сферу по эллипсу, а не по окружности

Limit79 в сообщении #925717 писал(а):

Подставляя уравнение плоскости $x=-y$ в уравнение сферы $x^2+y^2+z^2=4$ получаем:

$$(-y)^2+y^2+z^2=4$$

Исключая таким образом одну координату, Вы получаете проекцию на плоскость $(y,z)$. Сама же кривая действительно окружность.

[Limit79]

Nemiroff в сообщении #925718 писал(а):

Второе уравнение вы куда дели?

Второе уравнение использую дальше.

Otta
Ах, точно, этот момент я понял, спасибо.

Но теперь больше запутался - если кривая -- окружность, то почему в полученном параметрическом уравнении у нее коэффициенты перед синусом и косинусом разные? Это же должен быть радиус этой самой окружности...

-- 03.11.2014, 03:54 --

То есть сначала проецируем, в проекции на плоскость $yOz$ получается эллипс, а потом используем второе уравнение ($y=-x$), и уже после этого, в пространстве, получается окружность?

[Joker_vD]

Limit79 в сообщении #925717 писал(а):

То есть заданная сфера и плоскость пересекаются по эллипсу с полуосями $a=\sqrt{2}$ и $b=2$.

А вот и нет. Пересекаются ваши сфера и плоскость, как и положено, по окружности. Другое дело, что если эту окружность спроектировать на плоскость $x=0$, то получится именно что эллипс с такими вот полуосями.

Тем не менее, параметрическое задание дуги вы нашли правильно: можете проверить, взяв точку на ней и посчитав расстояние до начала координат — у вас всегда будет получаться $2$.

Ваше смятение понятно: вы исключили $x$ и получили уравнение с двумя неизвестными, по виду похожее на уравнение эллипса в системе координат $Oyz$. И это было бы действительно уравнение эллипса, если бы $x=0$ — т.е. вы находились бы в плоскости $Oyz$.

[Limit79]

Joker_vD
Спасибо за объяснение!

Если взять окружность, положить ее на стол под определенным углом, и посмотреть на это все сверху, то окружность покажется эллипсом, причем, чем больше угол наклона, тем меньше кривая будет похожа на окружность и больше на эллипс

[Joker_vD]

Limit79 в сообщении #925721 писал(а):

почему в полученном параметрическом уравнении у нее коэффициенты перед синусом и косинусом разные?

Потому что пространство. В пространстве вы складываете $x^2=R^2\cos^2\varphi\sin^2 t $, $y^2=R^2\cos^2 \varphi\sin^2 t $ и $z^2=R^2\cos^2 t$ и получаете $R^2$. А когда $\varphi$ зафиксировано, у вас получается $a=R\cos\varphi$, $b=R$ и вы видите уравнения $x^2=a^2\sin^2 t $, $y^2=a^2\sin^2 t $ и $z^2=b^2\cos^2 t$. Если нечаянно уронить уравнение для $x$, то останется эллипс.

[Limit79]

Спасибо за помощь, господа, я понял