Однопетлевая поправка к пропагатору электрона

[Name XXX]

Недавно я считал однопетлевую поправку к пропагатору электрона в произвольной калибровке,

$$ \Sigma_{1loop} = -ie^{2} \int \frac{d^{4}k}{(2 \pi )^{4}}\frac{\gamma^{\mu}\left( ( p\!\!\!/ -k\!\!\!/ ) + m\right)\gamma^{\nu} \left( g_{\mu \nu} - \epsilon \frac{k_{\mu} k_{\nu}}{k^{2}}\right)}{((p - k)^{2} - m_{e}^{2} + i\epsilon )(k^{2} - \mu^{2} + i \epsilon)}. $$

методом размерной регуляризации, $\frac{d^{4}k}{(2 \pi )^{4}} \to M^{4 - d}\frac{d^{d}k}{(2\pi )^{d}}$. Череда выкладок привела к выражению

$$ D(p) = -iM^{4 - d}q_{e}^{2}\frac{\Gamma \left(2 - \frac{d}{2}\right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}} (2 - d)p\!\!\!/\int \limits_{0}^{1}\frac{xdx}{(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{2 - \frac{d}{2}}}- $$

$$ - idm(M)^{4 - d}q_{e}^{2}\frac{\Gamma \left(2 - \frac{d}{2}\right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}}\int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{2 - \frac{d}{2}}} + $$

$$ +iM^{4 - d}q_{e}^{2}\epsilon (p^{2} - m^{2})\frac{\Gamma \left( 3 - \frac{d}{2} \right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}} \int \limits_{0}^{1}\frac{x(1 - x)dx}{(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{3 - \frac{d}{2}}} - $$

$$ - iM^{4 - d}q_{e}^{2}\epsilon(p\!\!\!/ - m)\frac{\Gamma \left(2 - \frac{d}{2}\right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}} \int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{((m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{2 - \frac{d}{2}}}. $$

Невзирая на проведенную регуляризацию, это выражение все еще обладает разными пороками. Например, используя разложение

$$ \frac{\Gamma \left(2 - \frac{d}{2} \right)}{(4 \pi )^{ frac{d}{2}}}\frac{1}{X^{2 - \frac{d}{2}}} = \frac{1}{16 \pi^{2}}\left( \frac{2}{4 - d} - \gamma - ln(X) + ln(4 \pi )\right), $$

можно убедиться, что часть интегралов имеет проблему, связанную с появлением интеграла от $xln(1 - x)$, и все интегралы имеют проблемы при приближении к массовой поверхности. Насколько я понимаю, всех этих проблем можно избежать, введя фиктивную массу фотона в пропагаторе.

Вопрос: почему размерная регуляризация не привела к регуляризации всех бесконечностей? При всех ее достоинствах (например, при сохранении калибровочной инвариантности), приходится модифицировать фотонный пропагатор, сводя достоинства на нет.

[Cos(x-pi/2)]

Имхо, непонятно, что за масса $\mu$ у Вас в самом первом интеграле; а также есть там $m$ без индекса и с каким-то индексом, что похоже на какую-то изначальную неаккуратность (извините, если я не прав).

Фиктивная масса фотона, насколько помню, нужна для борьбы с ИК-расходимостью, а размерная регуляризация выделяет УФ-расходимость; видимо, одно от другого не помогает.

[Name XXX]

Cos(x-pi/2), в самом первом выражении $\mu $ изначально лишнее, спасибо.

А насчет разных типов расходимости - размерная регуляризация обычно помогает регуляризовать как ультрафиолетовые, так и инфракрасные расходимости (просто знак величины $4 - d$ меняется). Здесь же она по какой-то причине не помогает. Вот интересно, почему. Такое впечатление, будто бы (!) я не учел какую-то еще диаграмму, которая сокращает бесконечность.


P.S. А, оказывается, ни интегралом от $xln(1 - x)$, ни с интегралом от $ln(1 - x)$ проблем нет. Остается лишь проблема приближения к массовой поверхности.

P.P.S. Оказалось, что я просто забыл, как интегрировать логарифмы. Бесконечностей нет.

[Name XXX]

А, нет, я наврал. В собственной массе есть расходились, которая регуляризуется введением фиктивной массы фотона. Почему размерная регуляризация не помогает?

[Name XXX]

Опять наврал... Все там хорошо. [:)].