Восстановить каноническое уравнение кривой

[SlayZar]

Требуется восстановить каноническое уравнение кривой, определить её тип и найти эксцентриситет, если фокусы кривой, если фокусы кривой $F_1=(\frac{162-2\sqrt 3}{2}, \frac{162\sqrt 3+2}{2}), F_2=(\frac{-158-2\sqrt 3}{2}, \frac{-158\sqrt 3+2}{2})$, а директрисы проходят через точки $D_1 = (\frac{252-2\sqrt 3}{2}, \frac{252\sqrt 3+2}{2}), D_2=(\frac{-248-2\sqrt 3}{2}, \frac{-248\sqrt 3+2}{2})$

Я нашел расстояние между директрисами $\left|D_1D_2\right|=500$
и между фокусами $\left|F_1F_2\right|=320$

Можем ли мы пользоваться тем, что $\left|D_1D_2\right| = 2\frac{a}{e}$ и $\left|F_1F_2\right| = 2ae$
Если так, то мы легко находим эксцентриситет, который равен $e = \frac 4 5$ и понимаем, что это эллипс, а каноническое уравнение получим $\frac {x^2} {40000} + \frac {y^2} {14400} =1$, но если я попытаюсь найти фокусы и директрисы этого эллипса, то получу другие значения. Я так понимаю, что проблема в том, что я не учитывал центр эллипса...
Подскажите, пожалуйста, в чем ошибка (если она есть) и как подправить?

[Shtorm]

SlayZar в сообщении #925128 писал(а):

Я нашел расстояние между директрисами $\left|D_1D_2\right|=500$

Не то, чтобы я ошибку увидел, а просто вопрос Вам: Вы находили расстояние между директрисами - как расстояние между двумя точками, которые даны выше, но откуда Вы знаете, что отрезок $D_1D_2$ - перепендикулярен к директрисам?

[SlayZar]

Shtorm в сообщении #925132 писал(а):

SlayZar в сообщении #925128 писал(а):

Я нашел расстояние между директрисами $\left|D_1D_2\right|=500$

Не то, чтобы я ошибку увидел, а просто вопрос Вам: Вы находили расстояние между директрисами - как расстояние между двумя точками, которые даны выше, но откуда Вы знаете, что отрезок $D_1D_2$ - перепендикулярен к директрисам?

Да, я вычел из координат $D_2$ координаты $D_1$, и нашел длину этого отрезка. Но $D_1D_2$ похоже действительно может быть не перпендикулярен директрисам...
Директрисы в эллипсе параллельны. Мы, получается знаем лишь две точки, через которые проходят директриссы... Но ведь только по двум точкам мы тогда получается вообще не сможем найти расстояние между прямыми?!

[Shtorm]

SlayZar, надо конечно прикинуть приблизительно, как будет располагаться эта кривая в пространстве. Но по сути решения: мы можем найти уравнение прямой проходящей через фокусы и найти уравнения прямых проходящих через точки $D_1$ и $D_2$, перпендикулярно найденной прямой - это и будут реальные уравнения директрис.

[SlayZar]

Так, тогда находим уравнение прямой проходящей через фокусы $F_1=(\frac{162-2\sqrt 3}{2}, \frac{162\sqrt 3+2}{2}), F_2=(\frac{-158-2\sqrt 3}{2}, \frac{-158\sqrt 3+2}{2})$,

$\frac{x-\frac{162-2\sqrt 3}{2}}{-160} = \frac{y-\frac{162\sqrt 3+2}{2}}{-160\sqrt 3}$

$\sqrt 3 x- 81\sqrt 3 + 3 = y -81\sqrt 3 - 1$

$y=\sqrt 3 x+4$

Прямая, перпендикулярная найденной прямой будет иметь угловой коэффициент $k=-\frac {1} {\sqrt 3}$
уравнение прямой будет иметь вид $y=-\frac {1} {\sqrt 3}x+b$ Подставим одну из дирректрисс и найдем $b$
$b=\frac{x}{\sqrt3}+y=\frac{252-2\sqrt 3}{2\sqrt3}+\frac{252\sqrt 3+2}{2}=168\sqrt 3$

То есть уравнение первой директриссы $y=-\frac {1} {\sqrt 3}x+168\sqrt 3$
аналогично находим уравнение второй директрисы.
Прямая проходит через точку $(0, 504)$ и тогда мы можем сказать, что $\frac{a}{e}=504$? и аналогично со второй прямой или нет?
Только не соображу, что дальше надо делать? В каноническом виде уравнение директриссы $x=\frac{a}{e}$, но у нас же так не получается...

[Shtorm]

SlayZar в сообщении #925172 писал(а):

Прямая проходит через точку $(0, 504)$ и тогда мы можем сказать, что $\frac{a}{e}=504$? и аналогично со второй прямой или нет?

Что-то я устал за сегодняшний день, поэтому мозг уже отключается и я не могу сообразить откуда Вы взяли точку $(0, 504)$. Но по сути, есть у нас уравнение одной директрисы и есть точка лежащая на другой директрисе. Можем найти расстояние от точки до директрисы - это и будет расстояние между двумя директрисами $\frac{2a}{\varepsilon}$

[SlayZar]

SlayZar в сообщении #925193 писал(а):

Shtorm в сообщении #925183 писал(а):

SlayZar в сообщении #925172 писал(а):

Прямая проходит через точку $(0, 504)$ и тогда мы можем сказать, что $\frac{a}{e}=504$? и аналогично со второй прямой или нет?

Что-то я устал за сегодняшний день, поэтому мозг уже отключается и я не могу сообразить откуда Вы взяли точку $(0, 504)$. Но по сути, есть у нас уравнение одной директрисы и есть точка лежащая на другой директрисе. Можем найти расстояние от точки до директрисы - это и будет расстояние между двумя директрисами $\frac{2a}{\varepsilon}$

Да, точно! Найдем расстояние от точки $D_2=(\frac{-248-2\sqrt 3}{2}, \frac{-248\sqrt 3+2}{2})$ до прямой $\frac {1} {\sqrt 3}x+y-168\sqrt 3=0$
$d=\frac{\left|\frac{-248-2\sqrt 3}{2\sqrt 3}+\frac{-248\sqrt 3+2}{2}-168\sqrt 3\right|}{\sqrt{1+\frac 1 3}} = \frac{\frac{496}{\sqrt 3}+168\sqrt 3}{\frac{2}{\sqrt{3}}} = \frac {496+504}{2}= 500 = 2\frac{a}{e}$

То есть изначальные вычисления были верны и каноническое уравнение действительно будет $\frac {x^2} {40000} + \frac {y^2} {14400} =1$. Верно?

[Shtorm]

Я не проверял арифметику, но по алгоритму всё верно.

SlayZar в сообщении #925128 писал(а):

но если я попытаюсь найти фокусы и директрисы этого эллипса, то получу другие значения.

Вы получите другие значения координат фокусов - всё верно, так как Вы теперь находите координаты фокусов в новой системе координат и они естественно меняются. Главное, чтобы расстояние между фокусами сохранялось и расстояние между директрисами - инварианты.

[SlayZar]

Shtorm
Да, ясно,
тут вот еще требуется найти точку пересечения касательной в $A=(x_0,y_0)=(\frac{162-74\sqrt3}{2}, \frac{162\sqrt3+74}{2}}$) и первой директрисы
Уравнение касательной в $A$ имеет вид $\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1$.
В нашем случае $\frac{162-74\sqrt3}{80000}x+ \frac{162\sqrt3+74}{28800}y}=1$
и вот если искать точку пересечения этой прямой с первой директрисой ($y=-\frac {1} {\sqrt 3}x+168\sqrt 3$), то Вольфрам выдает очень большой и страшный ответ. Не подскажите, всё ли я правильно сделал?

[SlayZar]

SlayZar в сообщении #925239 писал(а):

Shtorm
Да, ясно,
тут вот еще требуется найти точку пересечения касательной в $A=(x_0,y_0)=(\frac{162-74\sqrt3}{2}, \frac{162\sqrt3+74}{2}}$) и первой директрисы
Уравнение касательной в $A$ имеет вид $\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1$.
В нашем случае $\frac{162-74\sqrt3}{80000}x+ \frac{162\sqrt3+74}{28800}y}=1$
и вот если искать точку пересечения этой прямой с первой директрисой ($y=-\frac {1} {\sqrt 3}x+168\sqrt 3$), то Вольфрам выдает очень большой и страшный ответ. Не подскажите, всё ли я правильно сделал?

То есть правильно ли я взял уравнение директрисы или надо было находить директрису после приведения к каноническому виду как $D_1: x=-\frac a e} $ и вот это уже подставлять в уравнение касательной?

[Shtorm]

SlayZar в сообщении #925364 писал(а):

надо было находить директрису после приведения к каноническому виду как $D_1: x=-\frac a e} $ и вот это уже подставлять в уравнение касательной?

Именно! Ведь Вы берёте уравнение касательной уже в новой системе координат,

$$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1$$

а уравнение директрисы взяли из старой. Надо брать уравнения прямых в одной системе координат, чтобы правильно найти координаты точки их пересечения.

[SlayZar]

Да, ясно, тогда получаем уравнение директрисы $x=-\frac{a}{e}=\frac{200}{\frac{4}{5}}=250$
Тогда $\frac{250x_0}{40000}+\frac{y_0}{14400}y=1$

$\frac{162-74\sqrt3}{320}+ \frac{162\sqrt3+74}{28800}y=1$

$\frac{162\sqrt3+74}{28800}y=\frac{14220+6660\sqrt3}{28800}$

$y=\frac{14220+6660\sqrt3}{162\sqrt3+74}=\frac{7110+3330\sqrt3}{81\sqrt3+37}$

Значит точкой пересечения будет точка $(250, \frac{7110+3330\sqrt3}{81\sqrt3+37})$

Ответ всё равно получается очень странный, хотя вроде бы всё верно...

[Shtorm]

SlayZar в сообщении #925439 писал(а):

Да, ясно, тогда получаем уравнение директрисы $x=-\frac{a}{e}=\frac{200}{\frac{4}{5}}=250$

Вы ставите знак минус перед положительной дробью, а в итоге получается положительное число?
И ещё, Вам надо найти пересечение с первой директрисой? А как именно нумеруются директрисы слева направо или наоборот? То есть может Вы нашли точку пересечения как раз со второй директрисой?

[korobka]

(Оффтоп)

Опять ты за своё, Дима.

[SlayZar]

Shtorm
Да, ошибся
$x=-\frac{a}{e}=\frac{200}{\frac{4}{5}}=-250$
Тогда $\frac{-250x_0}{40000}+\frac{y_0}{14400}y=1$

$\frac{162\sqrt3+74}{28800}y=\frac{43380-6660\sqrt3}{28800}$

$y=\frac{43380-6660\sqrt3}{162\sqrt3+74}=\frac{21690-3330\sqrt3}{81\sqrt3+37}$
вроде бы нигде больше не ошибся...
думаю все же первая директрисса имеется ввиду та, что слева...