Задачка на осцилляторы

[studentmk_32]

Здравствуйте. Помоги, пожалуйста, со следующей задачей.



Для такой системы надо:
1) Написать гамильтониан и найти частоты нормальных мод в классике.
2) Написать оператор Гамильтона и найти его собственные значения.

Мой путь решения:
1)
Итак, гамильтониан:
$H = \frac{P^2}{2M} + \frac{p^2}{2m} + \frac{FX^2}{2} + \frac{f(X - x)^2}{2}$.
Из уравнений Гамильтона находим следующую систему:

$$ \begin{cases} M\ddot{X} = -FX - f(X - x)\\ m\ddot{x} = f(X - x)\\ \end{cases} $$

Ищем решение в виде $X = A\exp{i\omega t}$ и $x = B\exp{i\omega t}$. Подставляем в систему, приравниваем нулю дискриминант. И вот тут загвоздка - выражения для частот получаются слишком громоздкие.
Отсюда вопрос: это я делаю что-то неправильно или есть другой способ?

2)
Тут все тоже не гладко. Как свести это в теории к системе несвязанных осцилляторов я понимаю (Фейнман, Лекции по статистической физики, гл. 6, пар. 4). Но опять-таки там необходимо диагонализовать матрицу и выражения получаются уж совсем не симпатичные. Есть ли более простой путь?

[Munin]

Вы ЛЛ-1 § 23 читали? Там прямо написано, как это делать.

Да, выражения получаются громоздкие. Но это собственные числа и векторы матриц, ничего не поделаешь. Их удобнее находить прямо в матричном виде, а не путаясь в системах уравнений. Зато потом называете их константами, типа $\omega_{1,2},$ и в выкладки не подставляете.

[studentmk_32]

Munin

Спасибо, задачу решил.