Векторное сложение масс?

[DimaM]

Александрович в сообщении #925152 писал(а):

Сумма всех грузов на ободе это полный вес например 500 кг. Результирущий вес 50 кг. Как назвать операцию, по которой я нахожу результирущий вес?

По-прежнему не ясно, ищете вы вес или все-таки массу.
Если подразумевается масса, то можно понять как нахождение вектора $\sum m_i\mbox{\bf r}_i$ и представление его модуля в виде $m_xR$, где $R$ - радиус колеса.

[Александрович]

Спасибо, я сам уже понял. Вес это сила, стало быть вектор и тогда множество их (весов) можно складывать по правилам сложения векторов.

[DimaM]

Александрович в сообщении #925438 писал(а):

Вес это сила, стало быть вектор и тогда множество их (весов) можно складывать по правилам сложения векторов.

Если под весом подразумевается, как это обычно делается, сила, противодействующая силе тяжести, то у вас абсолютно неверно.
Какой-то смысл появится, если назвать "весом" центростремительную силу, действующую на грузы при вращении колеса, но это больно замысловато, по-моему.

[Александрович]

Я назову это результирующим весом балансировочных грузов. Так правильно? А как назвать операцию нахождения этого веса?

[ratay]

Так ведь, вроде бы, все уже выяснили: складываются не массы, а силы, к этим массам приложенные. Это может быть сила тяжести (вес), и это учитывается при статической балансировке. Это может быть центробежная сила, и это учитывается при динамической балансировке. А вводить какое-то специальное название - в механике этих терминов и так достаточно.

[Александрович]

Судя по вашему ответу вы слабо разбираетесь в балансировке. В обоих случаях балансирует центробежное ускорение.

[zvm]

Александрович в сообщении #926408 писал(а):

Судя по вашему ответу вы слабо разбираетесь в балансировке. В обоих случаях балансирует центробежное ускорение.

А что это такое - "Центробежное ускорение"?

[ratay]

Статическая - она потому и статическая, что нет там вращений и, соответственно, центробежных сил. Приходилось, знаете ли, заниматься. Достаточно просто в смысле оборудования и не так точно, как динамическая.

[Александрович]

При статической расбалансировке ось вращения смещена параллельно геометрической оси ротора, при диномической под углом. Есть также смешанная, это и та и другая вместе.

[ratay]

В общем так. Я бы, правда, уточнил: смещена линия центров масс, поскольку мы говорим о длинной детали. А ось вращения совпадает с геометрической осью для идеальной детали. Но это не столь важно, лишь бы мы понимали, о чем разговор.

[ewert]

Александрович в сообщении #925152 писал(а):

Как назвать операцию, по которой я нахожу результирущий вес?

Никак. Вы можете найти только смещение центра масс относительно оси колеса. Или, что эквивалентно, "момент веса" в момент времени, когда этот центр смещён относительно оси вращения по горизонтали. Если хочется получить что-то именно размерности массы, то, видимо, единственный способ -- это разделить $\left|\sum m_i\vec r_1\right|^2$ на момент инерции. Каков глубокий философский смысл подобной манипуляции -- не знаю.

[ddn]

Александрович в сообщении #924991 писал(а):

На ободе колеса расположено несколько грузов с разными массами. По правилам векторного сложения

Сначала нужно сделать массы векторами, а потом говорить о векторном сложении. За направление можно взять направление радиус-вектора точечного груза, за величину - его массу: $\vec{m_i} = m_i \frac{\vec{r_i}}{r_i}$. Для начала координат $\vec{r_i} = \vec 0$ - неопределенность, поэтому положим здесь $\vec{m_i} = \vec 0$.
Как тут уже предлагалось, но через комплексные числа:

bayak в сообщении #925020 писал(а):

Я бы такое приведение назвал комплексной массой дисбаланса. Фаза - это место дисбаланса на ободе, а модуль - это масса дисбаланса.

Эта величина неинвариантна относительно смещения начала координат, и контринвариантна (преобразуется как вектор) только для вращений относительно начала координат. Разрывная в начале координат. Ее вообще нельзя называть вектором в тензорно-геометрическом смысле.

Она также не имеет физического смысла массы, и поэтому не имеет право называться массой, даже если имеет ту же размерность. Масса это коэффициент пропорциональности между ускорением (либо приобретенной скоростью) и силой вызвавшей это ускорение (либо приобретенную скорость). Величин можно каких угодно нагородить, но это не значит, что они имеют какой-то физический смысл, а тем более совпадают с заданной физической характеристикой.

Александрович в сообщении #924991 писал(а):

все они приведены к одной

Смотря как ее "приводить".

Можно считать ее аддитивной, тогда определим вектор массы системы грузов как сумму векторов массы его отдельных грузов:
$\vec{\tilde m} = \sum\limits_{i=1}^n m_i \frac{\vec{r_i}}{r_i} = \sum\limits_{i=1}^n \vec{m_i} $ - это ее формула приведения.

Эта "результирующая" векторная величина получается по правилам векторного сложения, однако она не имеет такого же физического смысла как для отдельного точечного груза, ибо не соответствует никакому телу с такой величиной массы $\tilde m$ и расположенном (своим центром масс) в направлении вектора $\vec{\tilde m}$.

Александрович в сообщении #924991 писал(а):

с указанием её местоположения на ободе.

А если тело не обод? Вектор $\vec{\tilde m}$ имеет размерность массы, а не длины, и не может указывать местоположение массы, только направление.

А можно рассмотрев систему грузов подобно одному телу с массой $m = \sum\limits_{i=1}^n m_i$ и радиус-вектором $\vec R = \frac{1}{m} \sum\limits_{i=1}^n m_i \vec{r_i}$:
$\vec m = m \frac{\vec R}{R}$. Эта другая векторная масса системы, она определяется подобно векторным массам составляющих ее точечных грузов.

Но в таком случае нет смысла говорить о каком-то приведении по правилам векторного сложения или по каким-то иным правилам, потому что вообще невозможно выразить такую "приведенную" векторную массу $\vec m$ системы грузов через векторные массы отдельных грузов $\vec{m_i}$.

Есть частный случай обоидного тела, когда радиус-вектора грузов, отсчитанные от некоторого начала координат, равны по величине $|\vec r_i| = r > 0$. $r = \rho$ - радиусу инерции тела, так как по определению $J_z = m \rho_z^2$. В таком случае векторная масса системы как одного тела $\vec m = m \frac{\vec R}{R} = m \frac{\vec R}{\rho} \cdot \frac{\rho}{R} = \sum\limits_{i=1}^n m_i \frac{\vec{r_i}}{\rho} \cdot \frac{\rho}{R} = \vec{\tilde m} \cdot \frac{\rho}{R}$ пропорциональна аддитивной $\vec{\tilde m}$ с множителем $\frac{\rho}{R}$. И формула приведения этой векторной массы будет $\vec m = \vec{\tilde m} \frac{m}{\tilde m} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n \vec{m_i}}{\left|\sum\limits_{i=1}^n \vec{m_i}\right|} \sum\limits_{i=1}^n |\vec{m_i}|$. Это возможно, потому что для обода $\vec m || \vec{\tilde m}$.
Но в общем случае расположения грузов такой фортель уже не пройдет.

Для чего вообще возникла эта векторная "масса" в ее аддитивном варианте $\vec{\tilde m}$? Для вычисления положения центра масс ободоподобных тел. Поскольку радиус-вектора элементов обода равны по величине, то эту скалярную величину $\rho$ можно вынести за скобки из промежуточного выражения $\sum\limits_{i=1}^n m_i \vec{r_i}$ используемого для расчета радиус-вектора системы: $\vec R = \frac{\vec{\tilde m}}{m} \rho$ (для системы нескольких грузов, не расположенных в одной точке обода, всегда $R < \rho$). Значит для расчетов нужна только "результирующая" векторная масса $\vec{\tilde m}$, а масса $\vec m$ не нужна.
Масса $\vec{\tilde m}$ нужна для анализа поступательного движения обода и для расчета реакции его опор.
Для анализа вращательного движения обода требуется знать момент инерции системы грузов. Для обода и вращения вокруг его геометрической оси: $J = m \rho^2 = \frac{m^3}{\tilde m^2} R^2$.

В общем случае расположения грузов, выражения $\vec R$ и $J$ через $\vec{\tilde m}$ и $\rho$ нет. Да и зачем использовать величину пригодную только при равноудаленном расположении грузов от оси, для расположения грузов в общем случае?

Александрович в сообщении #924991 писал(а):

Как эту массу правильно назвать? Результирующая?

Как хотите, но это не масса тела, хотя имеет ту же размерность.

Александрович в сообщении #924991 писал(а):

Но тогда стоит признать векторную природу массы.

Зачем признавать векторную природу массы, если по физическому смыслу вектора $\vec m$ и $\vec{\tilde m}$ не являются массой?

Александрович в сообщении #924991 писал(а):

Как вообще называется такое приведение?

Пока никак. Придумайте свое название.

Александрович в сообщении #925005 писал(а):

Смысл в том, чтобы множество грузов развешенных по ободу привести по векторной сумме к одному грузу с "результирующей" массой.

Нужно говорить об эквивалентном грузе с некоторой массой и расположением. Но конечно у этого груза будет самая обычная скалярная масса, а не векторная, и с обычным физическим смыслом. Векторность лучше оставить за радиус-вектором. То есть нужны параметры $m'$ и $\vec r'$, а не $\vec m'$.
Чему равны эти параметры? Все зависит от того, какая нужна эквивалентность.
Если эквивалентность по вращательному движению, то эквивалентный груз должен давать тот же момент инерции относительно заданной оси вращения (для другой оси будет другой эквивалентный груз). Эквивалентный груз с массой равной например массе тела $m$ будет расположен на расстоянии нецентрального радиуса инерции тела $\rho$ от оси вращения в любом месте, главное чтобы выполнялось $m' r'^2 = J$.
Если эквивалентность по поступательному движению, то эквивалентный груз должен иметь массу тела и быть расположенным в центре масс тела.

Для обода из нескольких грузов эквивалентность сразу по вращательному и поступательному движению (равенство по $m$, $\vec R$ и $J$) - невозможна, и вообще невозможна для тел, чей центр масс не лежит на их радиусе инерции, т.е. для неточечных тел. Здесь потребуется два эквивалентных груза.
1-й случай: Один из них, массой $m'$, можно расположить за ободом (за радиусом инерции) на радиусе $r'$ от оси, а другой, с массой $m-m'$, в начале координат (на оси), тогда: $m' \vec r' = m \vec R$ и $m' {r'}^2 = J = m \rho^2$, откуда $m' = m \frac{R^2}{\rho^2} = m \frac{m R^2}{J}$ и $\vec r' = \frac{\rho^2}{R^2} \vec R = \frac{J}{m R^2} \rho R$ - имеем параметры $m'$, $m$ и $\vec r'$. Здесь для обода $\vec{\tilde m} = m' \frac{\vec r'}{r'}$.
Либо 2-й случай: Оба, с массами $m'$ и $m'' = m-m' \le m'$, расположить на ободе (на радиусе инерции от оси) в противоположных точках, тогда: $m' \vec\rho + (m-m')(-\vec\rho) = m \vec R$, откуда $m' = m \frac{R + \rho}{2 \rho} = \frac{m}{2} \left(1 + \sqrt{\frac{m R^2}{J}}\right)$ и $\vec\rho = \sqrt{\frac{J}{m}} \frac{\vec R}{R}$ - имеем параметры $m'$, $m$ и $\vec\rho$. Здесь для обода $\vec{\tilde m} = (2 m' - m) \frac{\vec \rho}{\rho}$.
Одной только векторной/комплексной массы, если взять ее в качестве параметра, будет недостаточно для расчета обода.
Для не обода, "результирующий" вектор массы тела через параметры двух эквивалентных грузов вообще выразить нельзя, да и из самой "результирующий" массы тоже ничего нельзя выразить.

Если тело не обод, конечно можно взять сумму векторов масс этих двух эквивалентных грузов, но она не будет равна сумме векторов масс отдельных точечных грузов: $\vec m' + \overrightarrow{(m-m')} \not= \vec{\tilde m}$. Для возможности выразить "результирующий" вектор массы тела через векторную сумму по эквивалентным грузам, потребуется третий эквивалентный груз, который можно расположить на линии первых двух: либо противоположно первому (для 1-го случая), либо на оси вращения (для 2-го случая), тогда равенство сумм выполняется для произвольного тела и данной оси. Получаем параметры: массы противоположных эквивалентных грузов $m'$, $m'' \le m'$ и центрального $m'''=m-m'-m''$, а также радиус-вектор первого $\vec r'$. Масса эквивалентного груза, расположенного в центре, характеризует степень отличия в распределении массы тела от ободного, а разница двух противоположных масс - степень смещения центра масс тела от оси.
Здесь $\vec R = \frac{m'-m''}{m} \vec r'$ и $J = (m'+m'') r'^2$.
Тогда, подобрав параметры эквивалентных грузов, "результирующий" вектор массы тела (как сумма по отдельным точкам) выражается через параметры эквивалентных грузов $\vec{\tilde m} = \vec m' + \vec m'' = (m' - m'')\frac{\vec r'}{r'}$ и его можно сделать параметром, а одну из противоположных масс и направление вектора $\vec r'$ исключить из параметров.
Сами параметры выражаются так:
$\vec r' = \frac{m}{\tilde m} \vec R$,
$m' = \frac{1}{2}\left(\frac{J}{r'^2} + \tilde m\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{J}{m R^2}\frac{\tilde m}{m} + 1\right) \tilde m$,
$m'' = \frac{1}{2}\left(\frac{J}{r'^2} - \tilde m\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{J}{m R^2}\frac{\tilde m}{m} - 1\right) \tilde m$ и
$m''' = m - \frac{J}{r'^2} = \left(1 - \frac{J}{m R^2}(\frac{\tilde m}{m})^2\right) m$.

Александрович в сообщении #925005 писал(а):

Мне не нравится слово "результирующая".

Правильное название: масса(-ы) эквивалентного(-ых) груза(-ов). Но не "эквивалентная масса".

Александрович в сообщении #925005 писал(а):

Это как-бы масса развешенная на ободе - вектор.

Масса развешенная на ободе не образует вектора, это всего лишь распределенная масса.

Александрович в сообщении #925024 писал(а):

Вообще-то моё приведение это некоторая операция. Я не могу назвать действие - комплексной массой. В лучшем случае нахождением модуля комплексной массы. Но боюсь даже в этом случае инженеры меня не поймут.

Комплексные числа это в данном случае всего лишь представление двумерного вектора (в плоскости вращения) комплексным числом, не вносящее ничего нового по содержанию и смыслу.

Александрович в сообщении #925105 писал(а):

А что в моём случае является мнимой и реальной частью?

Реальная часть - проекция вектора массы на первую ось плоскости вращения, а мнимая часть - проекция вектора массы на вторую (перпендикулярную первой). В остальном выбор осей произволен, так как умножения векторов, соответствующего умножению комплексных чисел, здесь нет.

[Александрович]

ddn! Спасибо Вам за столь подробную консультацию!