Уравнение в натуральных числах + диффур

[Maik2013]

Здравствуйте.
Задача такова:
Решить уравнение в целых числах $xy=x+y+3$ и еще
Надо найти точное решение $\dfrac{dy}{dx}=2(x^2+y^2)$
Приведите пример, как решать подобные задачи.

[nnosipov]

Maik2013 в сообщении #925296 писал(а):

Решить уравнение в целых числах $xy=x+y+3$

Непонятно, что эта смешная задача делает рядом с задачей про диффур. Выразите $y$ через $x$ и посмотрите на то, что получилось.

[ewert]

Проще перенести $x+y-1$ влево и разложить на множители.

[nnosipov]

ewert в сообщении #925308 писал(а):

Проще перенести $x+y-1$ влево и разложить на множители.

Это проще, но это что-то искусственное и годится только для уравнений вида $Axy+Bx+Cy+D=0$. Естественный подход состоит в том, что если уравнение линейно относительно одного из неизвестного, то это неизвестное надо выразить через другое. Полученную рациональную дробь следует представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Затем заняться исследованием этой правильной дроби.

[Maik2013]

Есть какой нибудь, книга или сайт для примеры такого задача, а то так трудно понят.

[nnosipov]

Я Вам алгоритм решения подобных задач уже изложил, он требует лишь базовых знаний по алгебре. Попробуйте сами его применить к Вашему уравнению. Зачем лезть на какие-то сайты ради пустяка?

[Maik2013]

nnosipov
По дифур что нибудь скажите?

[nnosipov]

Не, с диффурами это не ко мне.

[Maik2013]

nnosipov
$x=\dfrac{y+3}{y-1}$ далее как быт?

[Shtorm]

Maik2013 в сообщении #925366 писал(а):

nnosipov
$x=\dfrac{y+3}{y-1}$ далее как быт?

Далее, как сказал nnosipov, выделяем целую часть:

$x=\dfrac{y+3}{y-1}=1+\dfrac{4}{y-1}$

[Maik2013]

Shtorm
Еще что будет $x-1=\dfrac{4}{y-1}$

[Shtorm]

Maik2013, можно не переносить влево. Можно переносить. Без разницы. Главное, что теперь видно при каких целых $y$ получаются целые значения $x$.

[Maik2013]

Shtorm
Ну это же много, например если в мести $y$ подставим $2$ то получим $x=5$ и т.д.
а ответ как быт?

[DimaM]

Maik2013 в сообщении #925392 писал(а):

Ну это же много, например если в мести $y$ подставим $2$ то получим $x=5$ и т.д.
а ответ как быт?

Ну и какие целые числа можно подставить вместо $y$, чтоб при этом справа получилось целое число? Сдается мне, что таких чисел штук шесть всего.

[Shtorm]

Maik2013, как и сказал DimaM, решений не много. В ответе нужно все перечислить.