Обобщение ВТФ: гипотеза

[Chaos]

Приглючилось мне недавно, что ВТФ в обобщенном виде будет звучать следующим образом: Уравнение
$x_1^m+x_2^m+...+x_n^m=z^m$
$m,n \in {N}$
не имеет ненулевых решений в целых числах при $ m>n$.
Примечательно то, что при $m=n$ это уравнение превращается: при $m=n=1$- в тождество, при $m=n=2$- в теорему Пифагора, при m=n=3- в задачу о четырех кубах;
А при $m>n=2$- в ВТФ. Кстати, Леонард Эйлер тоже искал обобщение ВТФ и выдвинул гипотезу, названную его именем, которая получается из данного уравнения при одном нулевом корне. Гипотеза Эйлера продержалась около 200 лет и в конце концов была опровергнута.
Ландер, Паркин и Селфридж высказали гипотезу, симметрично дополняющую приведённую здесь, ее я тоже намеревался высказать в дальнейшем. Однако их гипотеза и приведенная здесь на данный момент никак не взаимосвязаны, хотя и образуют некое единство, определяя существование (несуществование) целочисленных решений для всех уравнений данного класса, возникающих при любых соотношениях m,n.
Интересно, будут ли у уважаемых участников соображения по поводу опровержения данной гипотезы? И не стоит ли поискать доказательство ВТФ в таком обобщённом виде?

[patzer2097]

Chaos в сообщении #925075 писал(а):

Кстати, Леонард Эйлер тоже искал обобщение ВТФ

Именно такую гипотезу, как Вы, он и предложил. Она была опровергнута в 1966 с появлением вычислительных машин, и этот результат стал известен как (a) один из первых успехов компьютеров в чистой математике, (б) одна из самых коротких научных статей за всю историю.

Кстати, сейчас вычислительные машины стали доступнее, и иногда кажется правильным предварительно проверять предлагаемые гипотезы на малых значениях параметров.

[vicvolf]

Chaos в сообщении #925075 писал(а):

Приглючилось мне недавно, что ВТФ в обобщенном виде будет звучать следующим образом: Уравнение
$x_1^m+x_2^m+...+x_n^m=z^m$
$m,n \in {N}$
не имеет ненулевых решений в целых числах при $ m>n$.

Наверно имеется в виду, что нет решений в натуральных числах, так как кроме нулевых решений в целых числах имеются также целые решения для нечетных $m$: (x_1=1,x_2=0,...x_n=0,z=1), (x_1=0,x_2=1,...x_n=0,z=1),...(x_1=0,x_2=0,...,x_n=1,z=1).
А для четных $m$ к уже указанным добавляются еще решения: (x_1=-1,x_2=0,...x_n=0,z=1), (x_1=-1,x_2=0,...x_n=0,z=-1),...(x_1=0,x_2=0,...x_n=-1,z=1), (x_1=0,x_2=0,...x_n=-1,z=-1),

Цитата:

А при $m>n=2$- в ВТФ.
Кстати, Леонард Эйлер тоже искал обобщение ВТФ и выдвинул гипотезу, названную его именем, которая получается из данного уравнения при одном нулевом корне. Гипотеза Эйлера продержалась около 200 лет и в конце концов была опровергнута.

В ВТФ и гипотезе Эйлера решение также ищется в натуральных числах.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%C3%E8%EF ... B%E5%F0%E0

[Chaos]

Под ненулевыми решениями подразумевалось, что в решении нет ни одного нулевого корня.
Да, имелось ввиду, что не существует натуральных ненулевых решений.
Эйлер предложил гипотезу отличную от данной.

-- 01.11.2014, 21:38 --

Беру самоотвод, знающие люди уже нашли контрпримеры: для $ m=5$: $27^5+84^5+110^5+133^5=144^5$,

а вот для $m=4$ минимальные значения чисел велики:

$95800^4+217519^4+414560^4=422481^4$.

Но все же получение из одного уравнения стольких законов и гипотез математики - это тоже красиво.

[patzer2097]

Chaos в сообщении #925157 писал(а):

знающие люди уже нашли контрпримеры: для $ m=5$: $27^5+84^5+110^5+133^5=144^5$

На самом деле этот контрпример нашла CDC 6600, а люди были бессильны это сделать на протяжении сотен лет

[Deggial]

vicvolf в сообщении #925131 писал(а):

(x_1=1,x_2=0,...x_n=0,z=1), (x_1=0,x_2=1,...x_n=0,z=1),...(x_1=0,x_2=0,...,x_n=1,z=1).
А для четных $m$ к уже указанным добавляются еще решения: (x_1=-1,x_2=0,...x_n=0,z=1), (x_1=-1,x_2=0,...x_n=0,z=-1),...(x_1=0,x_2=0,...x_n=-1,z=1), (x_1=0,x_2=0,...x_n=-1,z=-1),

vicvolf, замечание за неоформление формул

[Chaos]

Прошу прощения, видимо я и вправду высказал гипотезу Эйлера, будучи незнаком с ней. В общем лажанулся. Но уравнение меня зачаровало своей универсальностью вероятно в этом что- то есть.