Как доказать, что матрица не уменьшается?

[A_Nikolaev]

$a$ и $b$ — это неотрицательные квадратные матрицы рациональных чисел, которые связаны соотношением

$$b = (e - a) ^ {-1}.$$

$e$ — единичная матрица.

Если мы начнем увеличивать все или некоторые элементы матрицы $a$, но так, чтобы матрица $b$ продолжала существовать и оставалась неотрицательной, то элементы матрицы $b$ будут расти или, как минимум, не будут уменьшаться. Как это доказать?

Это задача из экономики, из модели межотраслевого баланса. Матрица $a$ называется матрицей коэффициентов прямых затрат, а матрица $b$ - матрицей коэффициентов полных затрат. При такой интерпретации матриц экономический смысл задачи очевиден и очевидно истинен: когда растут прямые затраты, растут и полные.

Хотелось бы узнать, существует ли строгое доказательство этого очевидного факта. В тех учебниках, которые я видел, динамика коэффициентов не рассматривается. Ссылки на литературу, касающуюся этого интересного для меня вопроса, принимаются с благодарностью.

[TOTAL]

A_Nikolaev в сообщении #924682 писал(а):

$a$ и $b$ — это неотрицательные квадратные матрицы рациональных чисел, которые связаны соотношением

$$b = (e - a) ^ {-1}.$$

неотрицательные квадратные матрицы рациональных чисел - что это такое?

[Евгений Машеров]

Ну, например, так:
$B=(I-A)^{-1}=I+A+A^2+A^3+\ldots+A^n+\ldots$
(кстати, это тождество хорошо интерпретируется экономически).
Очевидно, что если все элементы А неотрицательны, то при увеличении любого из них сумма справа возрастает.

-- 31 окт 2014, 11:33 --

TOTAL в сообщении #924701 писал(а):

A_Nikolaev в сообщении #924682 писал(а):

$a$ и $b$ — это неотрицательные квадратные матрицы рациональных чисел, которые связаны соотношением

$$b = (e - a) ^ {-1}.$$

неотрицательные квадратные матрицы рациональных чисел - что это такое?

(Оффтоп)

Дешифрую.
Квадратные матрицы, составленные из неотрицательных рациональных чисел.
Роты капитана Очевидность сержант-вычислитель С. Овпало.

[A_Nikolaev]

Евгений Машеров, спасибо!

Тождество $B=(I-A)^{-1}=I+A+A^2+A^3+\ldots+A^n+\ldots$ я встречал, но применить его к доказательству не догадался.

Экономический смысл степеней матриц прямых затрат мне понятен. Матрица в степени $A^n$ — это матрица косвенных затрат n-ого порядка. Но для меня не ясна интерпретация единичной матрицы в самом начале бесконечного ряда. Наверное, это $A^0$, но что это значит?

Я не помню, доказывается ли само тождество в учебниках. Но я посмотрю. Сейчас их просто нет под рукой.

(Оффтоп)

TOTAL, извините меня, совсем не математика и даже не экономиста, если сформулировал коряво. Я думал, что можно сказать "матрица чисел" и, следовательно, можно сказать "матрица рациональных чисел". А уточнить, что числа рациональные, хотелось, ведь, наверное, бывают и матрицы составленные из комплексных чисел. Хотя, может быть, для доказательства это и не важно.

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #924704 писал(а):

Ну, например, так:
$B=(I-A)^{-1}=I+A+A^2+A^3+\ldots+A^n+\ldots$
(кстати, это тождество хорошо интерпретируется экономически).

Но далеко не всегда хорошо математически...

[arseniiv]

Небольшой комментарий в сторону:

A_Nikolaev в сообщении #924723 писал(а):

Я думал, что можно сказать "матрица чисел" и, следовательно, можно сказать "матрица рациональных чисел". А уточнить, что числа рациональные, хотелось, ведь, наверное, бывают и матрицы составленные из комплексных чисел. Хотя, может быть, для доказательства это и не важно.

(1) Странноватое словоупотребление — «матрица чисел». Обычно говорят что-то типа «матрица над (такими-то) числами» (ну и по-другому, но те варианты меньше похожи).
(2) Матрицы действительно могут состоять из чего угодно (это же просто функции, сопоставляющие месту в матрице какое-то значение), хотя рациональность в данном случае — ненужное ограничение. В самый раз будут вещественные (a. k. a. действительные) числа. Если бы числа были комплексные, их нельзя было бы сравнивать, так что ваше желание уточнить действительно уместно.

[patzer2097]

Евгений Машеров в сообщении #924704 писал(а):

Ну, например, так:$B=(I-A)^{-1}=I+A+A^2+A^3+\ldots+A^n+\ldots$
Очевидно, что если все элементы А неотрицательны, то при увеличении любого из них сумма справа возрастает.

менее очевидно, почему ряд в правой части сходится

[Евгений Машеров]

А тут надо специфику данных вспомнить. Что это коэффициенты затрат. И оценить собственные значения.

[A_Nikolaev]

A_Nikolaev в сообщении #924723 писал(а):

Но для меня не ясна интерпретация единичной матрицы в самом начале бесконечного ряда.

Если записать так:

$$x=By=(I-A)^{-1}y=y+Ay+A^2y+\ldots ,$$

то смысл проясняется. Здесь $x$ — это вектор-столбец валового продукта, а $y$ — это вектор конечного продукта. Получается, что валовый продукт раскладывается на конечный продукт ($y$), прямые ($Ay$) и косвенные затраты разных порядков ($A^ny$).

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #924793 писал(а):

Обычно говорят что-то типа «матрица над (такими-то) числами» (ну и по-другому, но те варианты меньше похожи).

Спасибо, учту. А можно ли сказать "матрица из каких-то чисел"? Или надо обязательно "матрица составленная из каких-то чисел"? "Матрица над числами" для меня звучит странно. Представляется нечто висящее... над числами.

Евгений Машеров в сообщении #924850 писал(а):

patzer2097 в сообщении #924803 писал(а):

менее очевидно, почему ряд в правой части сходится

А тут надо специфику данных вспомнить. Что это коэффициенты затрат. И оценить собственные значения.

Я попробую сформулировать, как я это понимаю. Поправьте, пожалуйста, если ошибаюсь.

1. Прямые затраты не должны быть больше валового выпуска ($Ax \leqslant x$), иначе такая производственная система долго не протянет. На математическом языке это формулируется так: максимальное собственное значение матрицы $A$ меньше единицы и больше нуля. Это значит, что при умножении матрицы на положительный вектор он будет укорачиваться (и поворачиваться, приближаясь к направлению соответствующего собственного вектора матрицы).
2. Раз максимальное собственное значение матрицы $A$ меньше единицы, то элементы матрицы $A^n$ стремятся к нулю, когда $n$ стремится к бесконечности, а сумма ряда сходится. (Тут по аналогии с убывающей геометрической прогрессией, которую когда-то в школе проходили.)

[Евгений Машеров]

Ну, я бы через круги Гершгорина оценивал бы. Учитывая при этом, что внедиагональные элементы это доли продукции i- той отрасли в продукции j-той. И сумма их не может быть больше единицы, места для прибыли и зарплаты не останется.
Но вывод тот же - с.з. меньше единицы по абсолютной величине, так что данный ряд сходится.

[arseniiv]

(Оффтоп)

A_Nikolaev в сообщении #925013 писал(а):

А можно ли сказать "матрица из каких-то чисел"? Или надо обязательно "матрица составленная из каких-то чисел"? "Матрица над числами" для меня звучит странно. Представляется нечто висящее... над числами.

Не знаю, насколько в ходу «матрица из чисел». Обычно о том, откуда берутся элементы матрицы, можно узнать по формулам, в которые она входит, или если явно напишут что-то типа $A\in\mathbb R^{2\times3}$ (матрица $2\times3$ действительных чисел).

Может, с «матрицей над» я немного загнул. Это параллель конструкциям «векторное пространство/модуль/etc. над». А, ещё будет понятно «вещественнозначная/комплекснозначная/целочисленная матрица», но в общем случае так не сказать.

[A_Nikolaev]

Спасибо всем за ответы. Потихонечку начинаю понимать.