аксиома отделимости

[putinonelove]

Добрый вечер уважаемые математики!
Учусь на химическом факультете,скоро экзамен по математическому анализу. Не охота тупо заучивать билеты. Охота понять эту науку. Помогите пожалуйста с непонятным вопросом.
Теорема 1.Если А-бесконечное ограниченное множество,то существует предельная точка А.

Теорема 2. Если а-предельная точка А, то в любой проколотой окрестности а,содержится бесконечное мн-во точек из А.

Для обоих теорем приводится объемное доказательство. Я не вижу в них смысла. Как по мне,обе эти теоремы лишь следствие фундаментального св-ва прямой-ее аксиомы отделимости.
Скажите пожалуйста, прав ли я, или же что-то недопонимаю .

Спасибо.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Gagarin1968]

Да вроде бы никакой связи с аксиомой нет

[provincialka]

Нет, не отделимости. Первое связано с полнотой вещественной прямой (некоторые говорят - непрерывностью). Для множества рациональных чисел это уже не верно. Хотя рациональная прямая отделима.

[Gagarin1968]

provincialka в сообщении #925062 писал(а):

Первое связано с полнотой вещественной прямой

Немного не понял. Первое - это что?
Разве множество вещественных чисел ограничено?

[demolishka]

Gagarin1968 в сообщении #925068 писал(а):

provincialka в сообщении #925062 писал(а):

Первое связано с полнотой вещественной прямой

Немного не понял. Первое - это что?
Разве множество вещественных чисел ограничено?

Разве в условии теоремы сказано, что А - всегда множество вещественных чисел?

[ex-math]

putinonelove
Приведите определение предельной точки и варианты доказательства этих утверждений (Ваш и объемно-бессмысленный). Вообще-то, второе доказывается прямо из определения, первое -- подольше, но идея очень проста, попытайтесь ухватить ее.

[мат-ламер]

putinonelove в сообщении #924956 писал(а):

Для обоих теорем приводится объемное доказательство. Я не вижу в них смысла. Как по мне,обе эти теоремы лишь следствие фундаментального св-ва прямой-ее аксиомы отделимости.

Я тоже не вижу смысла в изучении таких доказательств на химическом факультете. Теорема действительно следствие аксиомы отделимости. Их, кстати, несколько. Вроде, достаточно Т1-аксиомы. Но я уже стал подзабывать. Сейчас посмотрю в учебнике. Если что не так, исправлю.
Посмотрел. Необходимо выполнение ещё первой аксиомы счётности. Но это всё для произвольных топологических пространств. Для метрических пространств все эти аксиомы выполняются автоматически.

[ex-math]

мат-ламер
Извините, но эта теорема в $\mathbb{R}$ --- фундаментальный факт, на котором строится дальнейшее изложение в части теорем Вейерштрасса и т.п. Как Вы тогда предлагаете изучать анализ студентам-химикам, "тупо заучивая билеты"? К чести преподавателей кафедры матанализа мехмата МГУ, им удалось поставить преподавание на химфаке на очень достойном уровне.
Доказательство просто получается делением отрезка пополам. Никакая аксиома отделимости не нужна.

-- 01.11.2014, 22:23 --

А вот произвольные топологические пространства на химическом факультете и правда не нужны.

[мат-ламер]

ex-math в сообщении #925198 писал(а):

мат-ламер
Извините, но эта теорема в $\mathbb{R}$ --- фундаментальный факт, на котором строится дальнейшее изложение в части теорем Вейерштрасса и т.п. Как Вы тогда предлагаете изучать анализ студентам-химикам, "тупо заучивая билеты"? К чести преподавателей кафедры матанализа мехмата МГУ, им удалось поставить преподавание на химфаке на очень достойном уровне.
Доказательство просто получается делением отрезка пополам. Никакая аксиома отделимости не нужна.

Меня не так поняли. 1) Из того, что я не вижу смысла в чём-то, абсолютно ничего следует. Это моё сугубо личное мнение, и я очень не хочу его кому-то навязывать. 2) Из того, что какая-то теорема является следствием каких-то аксиом, не следует, что её надо доказывать или не надо. Если топикстартеру "охота понять эту науку", то лучше конечно доказывать. Теорема Пифагора есть следствие аксиом Евклида. И что её не надо доказывать? 3) То что рассмострение идёт на числовой прямой явно в вопросах топикстартера не указано. Хотя косвенно можно догаться, что первое утверждение в произвольном метрическом пространстве неверно. Можно предположить, что пространство конечномерно. 4) Первое утверждение в первом посту есть следствие того факта, что ограниченное конечномерное множество предкомпактно. 5) То, что топикстартер упоминает про аксиому отделимости, как-бы намекает, что это ему это преподавали преподаватели кафедры матанализа. А вот для чего химику лезть в такие дебри, я не понимаю.