Всеукраинский турнир матбоев 2007, карусель

[dm]

2-й Всеукраинский турнир математических боев им. М.И.Ядренко
Математическая карусель
Киев, 28.10.2007

8--9 класс

1. (исход) Найдите наименьшее простое число, которое можно представить в виде суммы трех попарно различных простых чисел.

2. (исход) Сколькими способами можно поставить на шахматную доску ферзя, бьющего наименьшее количество клеток?

3. (исход) Сумма трех натуральных чисел равна 100. Какое значение может принимать их НОД?

4. (исход) В результате измерения четырех сторон и одной из диагоналей некоторого четырехугольника получились числа 15, 23, 36, 50, 72. Чему может быть равна длина измеренной диагонали?

5. (исход) Четыре мецената пожертвовали театру 132 тысячи гривен. При этом второй пожертвовал вдвое больше первого, третий~--- втрое больше второго, четвертый~--- в четыре раза больше третьего. Сколько пожертвовал первый?

6. (исход) На шахматной доске $8\times8$ стоят ладьи так, что каждая из них бьет $N$ ладей. При каких $N$ это возможно? (Ладья бьет в каждом направлении только ближайшую ладью.)

7. (исход) В двузначном числе переставили цифры и полученное число сложили с исходным. Получили квадрат натурального числа. Сколько разных двузначных чисел обладает таким свойством?

8. (исход) В прямоугольнике $1\times2$ отмечены 6 точек~--- четыре вершины и 2 середины больших сторон. Сколько существует прямоугольных треугольников с вершинами в этих точках?

9. (исход) Вася задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 7, опять зачеркнул последнюю цифру результата и получил число 21. Какое число задумал Вася?

10. (исход) Известно, что среди $N$ монет одна~--- фальшивая, более легкая, а остальные настоящие. При каких $N$ за два взвешивания на двухчашечных весах можно гарантировано найти фальшивую монету, а одного взвешивания при этом будет недостаточно?
11. (исход) В кассе есть монеты по 50, 10 та 5 копеек. Сколькими разными способами можно выдать клиенту сумму в 1 гривну?

12. (исход) На стороне $AB$ треугольника $ABC$ выбраны точки $M$ и $N$ так, что $AM:MN:BN=1:2:3$. Через точки $M$ и $N$ проведены прямые, параллельные стороне $AC$ треугольника. Найти площадь части треугольника, заключенного между этими прямыми, если площадь $\triangle ABC$ равна $S$.

13. (исход) Частное втрое больше делимого и вдвое больше делителя. Найдите делимое, делитель и частное.

14. (исход) На карточках по одному написаны все целые числа от 1 до 15. Одну карточку потеряли, и оказалось, что сумма чисел на остальных карточках~--- простое число. Какая карточка могла быть потеряна? (Укажите все варианты.)

1. (зачет) Сколько различных значений при натуральных $n$ ($1\le n\le100$) принимает дробь
$\frac{n}{p(n)}$, где $p(n)$~--- произведение всех простых делителей числа $n$ (в первых степенях)?

2. (зачет) Какое наибольшее число точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная, которая состоит из 7 звеньев, попарно не лежащих на одной прямой?

3. (зачет) Целая часть числа $x$ (обозначается $\lfloor x\rfloor$)~--- это наибольшее целое число, которое не превосходит $x$. Известно, что $\lfloor A\rfloor=2000$, а $\lfloor b\rfloor=2$. Сколько различных значений может принимать $\lfloor A\cdot B\rfloor$?

4. (зачет) В трапеции $ABCD$ основание $AB=13$, а основание $CD=5$. Найти площадь трапеции, если известно, что диагонали трапеции являются биссектрисами углов $\angle DAB$ и $\angle ABC$.

10. (зачет) Решить в натуральных числах уравнение:

$$ 2^x+3^y+5^z=136. $$

6. (зачет) Поднимаясь пешком по лестнице небоскреба, Джон на подъем между первым и вторым этажом потратил 10 сек., а на каждый следующий пролет между этажами тратил на 1 сек. больше, чем на предыдущий. Между какими этажами Джон будет через 10 минут?

7. (зачет) Поставьте на месте <<?>> такой знак арифметических действий (+,$-$,$\times$,:), чтобы получилось наибольшее возможное значение (плюсы и минусы перед скобками чередуются):

$$ \frac{1}{102}+\left(\frac{2}{103}-\left(\frac{3}{104}+\left(\frac{4}{105}-\left(\frac{5}{106} +\ldots-\left(\frac{97}{198}+\frac{98}{199}?\frac{99}{200}\right)\right)\right)\right)\right). $$

8. (зачет) В окружность радиуса 1 вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма основания и высоты, проведенной к основанию, равна диаметру. Найти длину этой высоты.

9. (зачет) Найти наибольшее натуральное число с неповторяющимися цифрами, которое делится на 99.

10. (зачет) Какие значения может принимать периметр десятиклеточного многоугольника на клетчатой доске, со стороной клетки равной 1?

11. (зачет) Найдите все значения выражения $x+y+z+xyz$, для положительных чисел $x$, $y$, $z$, которые удовлетворяют системе уравнений:

$$ \left\{ \begin{aligned} x+y+xy&{}=8,\\ y+z+yz&{}=15,\\ x+z+xz&{}=35. \end{aligned} \right. $$

12. (зачет) $AH$ и $CP$~--- высоты равнобедренного треугольника $ABC$, с вершиной $B$. Какой может быть величина угла $\angle B$, если известно, что $AC=2HP$?

13. (зачет) У скольких двузначных чисел сумма цифр больше произведения цифр?

14. (зачет) За круглым столом сидит $N\ge6$ человек. При каких $N$ они могут пересесть так, чтобы любые два прежних соседа теперь будут сидеть через 2 человека?

15. (зачет) Какое наибольшее значение принимает выражение
$\overline{\text{ПИФАГОР}}+\overline{\text{КОШИ}}$?
(Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным - разные.) Сколькими способами можно заменить буквы цифрами, чтобы получить это максимальное значение? Дать
ответы на оба вопроса.

16. (зачет) В треугольнике $ABC$ со сторонами $a$, $b$, $c$ проведена медиана $CM_1$, в $\triangle BCM_1$ проведена медиана $M_1M_2$, в $\triangle CM_1M_2$~--- медиана $M_2M_3$, в $\triangle M_1M_2M_3$~--- медиана $M_3M_4$ и т.\,д. Чему равна длина отрезка
$M_{2006}M_{2007}$?

17. (зачет) Какой остаток при делении на 30 имеет число $13^{13}$?

18. (зачет) Какое наименьшее число клеток квадрата $5\times5$ можно закрасить так, чтобы в любом четырехклеточном прямоугольнике была бы хоть одна закрашенная клетка?

19. (зачет) Найти все такие пары натуральных чисел $(m,n)$, для которых

$$\frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{(m,n)}+\frac{1}{[m,n]}=1,$$

где $(m,n)$ и $[m,n]$~--- НОД и НОК чисел $m$, $n$ соответственно.

20. (зачет) Сколько существует треугольников, длины сторон которых равны целому числу сантиметров и не превышают 10 см?

10--11 класс

1. (исход) Сколько существует натуральных чисел, больших 10, у которых каждые две соседние цифры образуют точный квадрат?

2. (исход) Сколькими способами можно поставить на шахматную доску ферзя, бьющего наименьшее количество клеток?

3. (исход) Решить систему уравнений:

$$ \left\{ \begin{gathered} xy=1,\\ x+y+\cos^2z=2. \end{gathered} \right. $$

4. (исход) В окружность радиуса 1 вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма основания и высоты, проведенной к основанию, равна диаметру. Найти длину этой высоты.

5. (исход) Какой остаток при делении на 30 имеет число $13^{13}$?

6. (исход) Известно, что среди $N$ монет одна~--- фальшивая, более легкая, а остальные
настоящие. При каких $N$ за два взвешивания на двухчашечных весах можно гарантировано найти фальшивую монету, а одного взвешивания при этом будет недостаточно?

7. (исход) При каких значениях параметра $a$ дробь

$$ \frac{a^3-3a^2+3a-1}{a^5-3a^4+4a^3-4a^2+3a-1} $$

принимает максимальное
значение?

8. (исход) В трапеции $ABCD$ основание $AB=13$, а основание $CD=5$. Найти площадь трапеции, если известно, что диагонали трапеции являются биссектрисами углов $\angle DAB$ и $\angle ABC$.

9. (исход) Вася задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 7, опять зачеркнул последнюю цифру результата и получил число 21. Какое число задумал Вася?

10. (исход) В прямоугольнике $1\times2$ отмечены 6 точек~--- четыре вершины и 2 середины больших сторон. Сколько существует прямоугольных треугольников с вершинами в этих точках?

11. (исход) Найти все такие пары натуральных чисел $(m,n)$, для которых

$$\frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{(m,n)}+\frac{1}{[m,n]}=1,$$

где
$(m,n)$ и $[m,n]$~--- НОД и НОК чисел $m$, $n$ соответственно.

12. (исход) На стороне $AB$ треугольника $ABC$ выбраны точки $M$ и $N$ так, что $AM:MN:BN=1:2:3$. Через точки $M$ и $N$ проведены прямые, параллельные стороне $AC$ треугольника. Найти площадь части треугольника, заключенного между этими прямыми, если площадь $\triangle ABC$ равна $S$.

13. (исход) На карточках по одному написаны все целые числа от 1 до 15. Одну карточку потеряли, и оказалось, что сумма чисел на остальных карточках - простое число. Какая
карточка могла быть потеряна? (Укажите все варианты.)

14. (исход) Продолжите последовательность одним числом 1, 10, 100, 101, 111, 1000, 1010, 1011, 1101, 1110, \ldots


1. (зачет) Поднимаясь пешком по лестнице небоскреба, Джон на подъем между первым и вторым этажом потратил 10 сек., а на каждый следующий пролет между этажами тратил на 1 сек. больше, чем на предыдущий. Между какими этажами Джон будет через 10 минут?

2. (зачет) Найти наибольшее натуральное число с неповторяющимися цифрами, которое делится на 99.

3. (зачет) В треугольнике $ABC$ со сторонами $a$, $b$, $c$ проведена медиана $CM_1$, в $\triangle BCM_1$ проведена медиана $M_1M_2$, в $\triangle CM_1M_2$~--- медиана $M_2M_3$, в $\triangle M_1M_2M_3$~--- медиана $M_3M_4$ и т.\,д. Чему равна длина отрезка
$M_{2006}M_{2007}$?

4. (зачет) Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения

$$\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1},$$

если $a+b+c=1$.

5. (зачет) Какое наибольшее число точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная, которая состоит из 7 звеньев, попарно не лежащих на одной прямой?

6. (зачет) Сколькими способами среди первых 100 натуральных чисел можно выбрать пару различных чисел, сумма которых записывается числом, содержащим нуль?

7. (зачет) В $\triangle ABC$ на наибольшей стороне $AC=b$ выбирается точка $M$. Найти наименьшее расстояние между центрами окружностей, которые описаны вокруг треугольников $ABM$ и $BCM$.

8. (зачет) Какое наибольшее значение принимает выражение
$\overline{\text{ПИФАГОР}}+\overline{\text{КОШИ}}$? (Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным - разные.) Сколькими способами можно заменить буквы цифрами,
чтобы получить это максимальное значение? Дать ответы на оба вопроса.

9. (зачет) Какие значения может принимать периметр десятиклеточного многоугольника на клетчатой доске, со стороной клетки равной 1?

10. (зачет) Решить в натуральных числах уравнение:

$$ 2^x+3^y+5^z=136. $$

11. (зачет) Из точки $O$ проведен луч. Под углом в $10^{\circ}$ по часовой стрелке к нему с тем же началом проведен второй луч, затем от второго луча под углом $20^{\circ}$ по часовой стрелке проведен третий луч и т.\,д. Каждый следующий угол в 2 раза больше предыдущего. Какое количество различных лучей окажется на картинке?

12. (зачет) Решить неравенство:

$$ \sqrt{4-\frac{4}{x}}<x-\sqrt{x-\frac{4}{x}}. $$

13. (зачет) За круглим столом сидит $N\ge6$ человек. При каких $N$ они могут пересесть так, чтобы любые два прежних соседа теперь будут сидеть через 2 человека?

14. (зачет) Сколько различных значений при натуральных $n$ ($1\le n\le100$) принимает дробь
$\frac{n}{p(n)}$, где $p(n)$~--- произведение всех простых делителей числа $n$ (в первых степенях)?

15. (зачет) Сколько существует треугольников, длины сторон которых равны целому числу сантиметров и не превышают 10 см?

16. (зачет) Найдите все значения выражения $x+y+z+xyz$, для положительных чисел $x$, $y$, $z$, которые удовлетворяют системе уравнений:

$$ \left\{ \begin{aligned} x+y+xy&{}=8,\\ y+z+yz&{}=15,\\ x+z+xz&{}=35. \end{aligned} \right. $$

17. (зачет) Какое наименьшее число клеток квадрата $5\times5$ можно закрасить так, чтобы в любом четырехклеточном прямоугольнике была бы хоть одна закрашенная клетка?

18. (зачет) У скольких двузначных чисел сумма цифр больше произведения цифр?

19. (зачет) Какое наибольшее количество вершин может быть у плоского выпуклого многоугольника, если каждая из них находится на некоторой грани куба, а сам многоугольник не лежит ни в какой грани куба? (Грани включают в себя границы.)

20. (зачет) Поставьте на месте <<?>> такой знак арифметических действий (+,$-$,$\times$,:), чтобы получилось наибольшее возможное значение (плюсы и минусы перед скобками чередуются):

$$ \frac{1}{102}+\left(\frac{2}{103}-\left(\frac{3}{104}+\left(\frac{4}{105}-\left(\frac{5}{106} +\ldots-\left(\frac{97}{198}+\frac{98}{199}?\frac{99}{200}\right)\right)\right)\right)\right). $$

[arqady]

dm писал(а):

4. (зачет) Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения

$$\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1},$$

если $a+b+c=1$.

Немного интереснее,имхо, хотя всё равно легко:
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения

$$\sqrt{4a^2+1}+\sqrt{4b^2+1}+\sqrt{4c^2+1},$$

если $a+b+c=1$