Анализ нулей многочлена

[ChaosProcess]

Допустим, у меня стоит задача о поиске собственных значений некой матрицы, достаточно большой. Собственные значения будут нулями характеристического многочлена. Как понять, где эти собственные значения находятся?

[iifat]

Вы таки глобальны как потепление климата Земли. Не, как расширение Вселенной.
Есть уйма теории по поиску либо отделению корней многочленов. Есть немало методов нахождения собственных чисел и векторов, не требующих выписывания характеристического многочлена. Конкретной сылки не дам, но, смею уверить, простейший поиск даст вам миллионы ссылок (и таки нет, не обязательно читать их все; достаточно будет выбрать парочку).

[ChaosProcess]

iifat в сообщении #924736 писал(а):

Есть немало методов нахождения собственных чисел и векторов, не требующих выписывания характеристического многочлена.

Например?
Упомянутая матрица состоит не из циферок, а из буковок. Между буковками есть определенные, линейные соотношения плюс ограничения неравенствами, которые я выписывать не буду, конкретный вид не важен. Так вот, необходимо как-то выяснить, какие ограничения наложатся на собственные значения матрицы.

[Brukvalub]

ChaosProcess в сообщении #924743 писал(а):

...
Упомянутая матрица состоит не из циферок, а из буковок. Между буковками есть определенные, линейные соотношения плюс ограничения неравенствами, которые я выписывать не буду, конкретный вид не важен. Так вот, необходимо как-то выяснить, какие ограничения наложатся на собственные значения матрицы.

Понятно, что такие суровые ограничения на буковки, конкретный вид которых не важен, обязательно повлекут не менее суровые, но секретные ограничения на собственные значения матрицы!

[ChaosProcess]

Brukvalub в сообщении #924745 писал(а):

Понятно, что такие суровые ограничения на буковки, конкретный вид которых не важен, обязательно повлекут не менее суровые, но секретные ограничения на собственные значения матрицы!

Да я могу выписать, но это будет конкретная задача для данного размера матрицы, для другого будут другие ограничения. Мне нужен общий метод.
Ну вот например, эрмитова матрица 4x4, все диагональные являются линейными функциями $a_{11}$:

$$a_{22}=a-a_{11}$$

$$a_{33}=b-a_{11}$$

$$a_{44}=a+b-1+a_{11}$$

.
Кроме того $0\leqslant a_{11}\leqslant 1$.($a_{11}\in R$).
На недиагональные элементы ограничения:

$$a_{12}=-a_{34};\; a_{13}=-a_{24}.$$

[ИСН]

По-моему, там остаётся достаточно свободы, чтоб получился любой полином и любые корни.

[ChaosProcess]

Да, совсем забыл: $a,b\in R$ и $a,b\in [0,1]$.

ИСН в сообщении #924753 писал(а):

По-моему, там остаётся достаточно свободы, чтоб получился любой полином и любые корни.

Конкретно здесь точно будут ограничения на собственные значения, это можно показать независимым способом.
Другое дело, что этот способ не работает в общем случае матриц произвольной размерности.

[Brukvalub]

Как можно найти какие-нибудь ограничения на собственные числа матрицы, зная только информацию о том, что "элементы матрицы связаны ограничениями"?
Напоминает известную загадку Швейка: "Стоит четырехэтажный дом, в каждом этаже по восьми окон, на крыше — два слуховых окна и две трубы, в каждом этаже по два квартиранта. А теперь скажите, господа, в каком году умерла у швейцара бабушка?"

[mihiv]

Посмотрите: "круги Гершгорина".

[ChaosProcess]

mihiv в сообщении #924763 писал(а):

Посмотрите: "круги Гершгорина".

Вот это уже интригующе.
Неплохая теорема, но условия слишком слабые получатся.

Brukvalub в сообщении #924761 писал(а):

Как можно найти какие-нибудь ограничения на собственные числа матрицы, зная только информацию о том, что "элементы матрицы связаны ограничениями"?

Методами алгебраической геометрии как-то можно. Я в ней не разбираюсь, поэтому и написал сюда.

[Brukvalub]

ChaosProcess в сообщении #924767 писал(а):

...

Brukvalub в сообщении #924761 писал(а):

Как можно найти какие-нибудь ограничения на собственные числа матрицы, зная только информацию о том, что "элементы матрицы связаны ограничениями"?

Методами алгебраической геометрии как-то можно. Я в ней не разбираюсь, поэтому и написал сюда.

Как же последняя фраза похожа на знаменитое "Пастернака я не читал, но сурово осуждаю!" Как вы догадались, что "Методами алгебраической геометрии как-то можно", если в алгебраической геометрии не разбираетесь?

[ChaosProcess]

Brukvalub в сообщении #924800 писал(а):

Как же последняя фраза похожа на знаменитое "Пастернака я не читал, но сурово осуждаю!" Как вы догадались, что "Методами алгебраической геометрии как-то можно", если в алгебраической геометрии не разбираетесь?

Умные люди сказали.
А еще вот это https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_variety.