Найти объём выреза (школьная олимпиадная задача)

[ИСН]

Итак, Вы выразили $a,b,d$ через $c$, а его через них. Какой-то порочный круг получается.

[ИСН]

Кажется, мы наконец-то похоронили эту тему с элементарным вычислением.

[vadulik]

наверное эта тема будет совсем похоронена :)

[Deggial]

Bartini в сообщении #924453 писал(а):

2a+b-c+4(R-H1)(R-H2)= V-B

Bartini в сообщении #924482 писал(а):

a= A-c
b=B-c
d= V-B-A+c

Bartini, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.

[Bartini]

Интересно, если рассмотреть 6 сегментов 3х видов, возникающих при данном разбиении шара, то они своими пересечениями порождают 26 фигур 7-ми видов и вписанный прямоугольный параллелепипед. Итого получается базовое разбиение шара состоит из 7-ми частей, а финальное, возникающее в результате пересечения этих частей из 27 - ми частей, причём сначала было 3 вида фигур и параллелепипед а стало 7 видов фигур и параллелепипед. А полное количество видов фигур в первом случае $2^2$, вовтором $2^3$, а количество фигур в первом случае $2^3-1$, во втором $3^3$. Просто нумерология какая- то.

-- 30.10.2014, 21:53 --

$c=\frac{A+B}{2}-\frac{V-O}{4}$
Вот O-то я и упустил.
Выразить бы ещё О так, чтоб не возникло тождество.

[TOTAL]

Sender в сообщении #924397 писал(а):

Вроде должен быть такой интеграл:

$$2\int\limits_{H_1}^{\sqrt{R^2-H_2^2}}dx \int\limits_{H_2}^{\sqrt{R^2-x^2}}\sqrt{R^2-x^2-y^2}dy$$

М.б. такой проще?

$$2\int\limits_{0}^{H_1}dx \int\limits_{0}^{H_2}}\sqrt{R^2-x^2-y^2}dy$$

[Skeptic]

Элементарные вычисления.

Вырежем из шара цилиндр, у которого ось проходит через центр шара, образующая - по углу выреза. Получим кольцо. Найдём объём кольца.
Рассмотрим сечение полученного кольца по большому кругу шара.
Найдём отношение площади выреза сечения ко всей площади сечения.
Это отношение справедливо для отношения объёма выреза на шаре (кольце) к объёму кольца.
Зная это отношение и объём кольца, найдём объём выреза.

[vadulik]

Skeptic в сообщении #924671 писал(а):

Элементарные вычисления.

Вырежем из шара цилиндр, у которого ось проходит через центр шара, образующая - по углу выреза. Получим кольцо. Найдём объём кольца.
Рассмотрим сечение полученного кольца по большому кругу шара.
Найдём отношение площади выреза сечения ко всей площади сечения.
Это отношение справедливо для отношения объёма выреза на шаре (кольце) к объёму кольца.
Зная это отношение и объём кольца, найдём объём выреза.

из чего это следует ? можно поподробней пожалуйста ?

[TOTAL]

Skeptic в сообщении #924671 писал(а):

Элементарные вычисления.

Вырежем из шара цилиндр, у которого ось проходит через центр шара, образующая - по углу выреза. Получим кольцо. Найдём объём кольца.
Рассмотрим сечение полученного кольца по большому кругу шара.
Найдём отношение площади выреза сечения ко всей площади сечения.
Это отношение справедливо для отношения объёма выреза на шаре (кольце) к объёму кольца.
Зная это отношение и объём кольца, найдём объём выреза.

Сначала вот это поподробнее (больших кругов много)

[Sender]

TOTAL в сообщении #924666 писал(а):

М.б. такой проще?

$$2\int\limits_{0}^{H_1}dx \int\limits_{0}^{H_2}\sqrt{R^2-x^2-y^2}dy$$

Да, вот где пригодятся гениальные идеи Bartini.
Получается альтернативная формула (использованы обозначения $a=\frac{H_1}{R}$, $b=\frac{H_2}{R}$, $c=\sqrt{1-a^2-b^2}$):

$$V=\frac{R^3}{3}\Big[2abc+\frac{\pi}{2}(a^3+b^3-3a-3b+2)-b(b^2-3)\arctg\frac{a}{c}-a(a^2-3)\arctg\frac{b}{c}-2\arctg\frac{ab}{c}\Big]$$

Или даже

$$V=\frac{R^3}{3}\Big[2abc+b(b^2-3)\arctg\frac{c}{a}+a(a^2-3)\arctg\frac{c}{b}+2\arctg\frac{c}{ab}\Big]$$

[ИСН]

Вот оно! Вот оно! На носу намотано!
Форму с арктангенсами я встречал, но последний член в ней был в другом виде. Теперь можно переделать в этом же стиле мою форму, и в ней станет на одно слагаемое меньше!

$$\begin{array}{l} {R^3\over3}\left( 2ab\sqrt{1-a^2-b^2} -a(3-a^2)\arcsin\sqrt{1-a^2-b^2\over1-a^2}-\right. \\ \left.\phantom{R^3\over3(-}-b(3-b^2)\arcsin\sqrt{1-a^2-b^2\over1-b^2} +2\arcsin\sqrt{1-a^2-b^2\over(1-a^2)(1-b^2)} \right)\end{array}$$

-- менее минуты назад --

Впрочем, с арктангенсами во второй версии всё равно изящнее.

[Skeptic]

Приношу извинения, я ошибся.

Задачу можно решить, используя принцип Кавальери. Для данной задачи это означает, что объём вырезанной части равен половине произведения полощади одной из сторон выреза на высоту другой стороны. Прикидочный расчёт на Автокаде показал, что это сработает.

[Skeptic]

$$V={3\over16}{\pi}ch_1h_2$$

где $c$ - длина ребра выреза, $h_1,h_2$ - высоты граней выреза.

[vadulik]

Skeptic в сообщении #927486 писал(а):

$$V={3\over16}{\pi}ch_1h_2$$

где $c$ - длина ребра выреза, $h_1,h_2$ - высоты граней выреза.

Ваша формула даёт НЕверный результат

[Skeptic]

Как вы это проверили?