ТФКП: особые точки и вычеты

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть одна задачка по ТФКП. Я ее, в принципе, решил, но, если Вам не сложно, просмотрите, пожалуйста, решение, и скажите, может я где-то ошибся

1) Найти все особые точки функции, определить их характер и вычислить вычеты в них.

$$f(z) = \frac{z}{(z-2) (z+3i)^2}$$

Особыми точками данной функции являются нули знаменателя $z_{1}=2$ и $z_{2} = -3i$, и точка $z_{3}=\infty$.

Так как

$$\lim\limits_{ z \to 2} \frac{z}{(z-2) (z+3i)^2} = \frac{2}{(2+3i)^2} \cdot \lim\limits_{ z \to 2} \frac{1}{z-2} = \infty$$

то точка $z_{1}=2$ является полюсом. Так как

$$\lim\limits_{z \to 2} \left ( f(z) \cdot (z-2)^1 \right ) = \lim\limits_{ z \to 2} \frac{z}{(z+3i)^2} = \frac{2}{(2+3i)^2} \neq 0$$

то точка $z_{1}=2$ является полюсом первого порядка и

$$\mathop\mathrm{res}_{z_{1}=2}} f(z) = \lim\limits_{z \to 2} \left ( f(z) \cdot (z-2) \right ) = \lim\limits_{ z \to 2} \frac{z}{(z+3i)^2} = \frac{2}{(2+3i)^2}$$

Так как

$$\lim\limits_{ z \to -3i} \frac{z}{(z-2) (z+3i)^2} = \frac{-3i}{-3i-2} \cdot \lim\limits_{ z \to -3i} \frac{1}{(z+3i)^2} = \infty$$

то точка $z_{2}=-3i$ является полюсом. Так как

$$\lim\limits_{z \to -3i} \left ( f(z) \cdot (z+3i)^2 \right ) = \lim\limits_{ z \to -3i} \frac{z}{z-2} = \frac{-3i}{-3i-2} \neq 0$$

то точка $z_{2}=-3i$ является полюсом второго порядка и

$$\mathop\mathrm{res}_{z_{2}=-3i}} f(z) = \frac{1}{(2-1)!} \cdot \lim\limits_{z \to -3i} \left ( \frac{d}{dz} \left (f(z) \cdot (z+3i)^2 \right \right ) = \lim\limits_{z \to -3i} \left ( \frac{d}{dz} \left ( \frac{z}{z-2} \right ) \right ) = \lim\limits_{z \to -3i} \left ( \frac{-2}{(z-2)^2} \right ) =$$

$$= -\frac{2}{(-3i-2)^2} = -\frac{2}{(3i+2)^2} $$

Так как

$$\lim\limits_{ z \to \infty} \frac{z}{(z-2) (z+3i)^2} =0$$

то точка $z_{3}=\infty$ является устранимой особой точкой и вычет в ней равен нулю.


Спасибо!

[Otta]

Все верно (арифметику не проверяю), кроме последнего: в бесконечно удаленной устранимой особой точке вычет не обязан быть нулевым, так как минус первый коэффициент находится в правильной части ряда Лорана.

[Limit79]

Otta
Спасибо!

Но насчет последнего не понял.

В учебнике написано:

Цитата:

Изолированная особая точка $z_{0}$ (конечная или бесконечная) функции $f(z)$ называется:

1) устранимой особой точкой , если существует конечный предел $\lim\limits_{ z \to z_{0}} f(z)$;
...

То есть наша $z_{3} = \infty$ является устранимой особой точкой.

Далее написано:

Цитата:

Если функция $f(z)$ является аналитической в точке $z_{0}$ или если $z_{0}$ - устранимая особая точка для функции $f(z)$, то

$$\mathop\mathrm{res}_{z_{0}}} f(z) = 0$$

То есть вычет в $z_{3} = \infty$ равен нулю.


Подскажите, пожалуйста, где нарушается логика.

[Otta]

Limit79 в сообщении #924614 писал(а):

Далее написано:

Это верно для точек комплексной плоскости. Для бесконечно удаленной это неверно. Почему, я уже объяснила выше на языке рядов Лорана, ибо больше никак.

Пример: функция $1/z$. В бесконечности - устранимая особая точка, ноль первого порядка. Вычет, очевидно, равен $-1$.

[Limit79]

Otta
Спасибо, понял!

Можно ли тогда воспользоваться тем, что вычет в бесконечности равен минус сумме двух найденных вычетов? И, соответственно, равен нулю.

[Otta]

Да, конечно. Можно, например, так.

[provincialka]

Можно проще. Ведь $f(z)\sim \frac1{z^2}$, то есть $c_{-1}=0$.

[Limit79]

Otta
Спасибо!

provincialka
Стараюсь решать по стандартным формулам, но Вашу мысль понял. Спасибо!

[provincialka]

Ну... А то, что вычет в бесконечности равен $-c_{-1}$ - не стандартный факт? Зная это и первый вычет, второй можно получить без утомительных вычислений.

[Otta]

Limit79
По стандартным - это хорошо, но для понимания чего и как, лучше все же на языке рядов Лорана уметь понимать. Тогда бы Вы живенько представляли, что у нуля второго порядка все степени старше минус второй в разложении на бесконечности отсутствуют как класс.

[Limit79]

provincialka
Otta
Я эквивалентность имел ввиду. Не знаю точно, где ее можно применять, а где нет

Но, что

$$\frac{z}{(z-2) (z+3i)^2} \sim \frac{z}{z^3} = \frac{1}{z^2}$$

при

$$z \to \infty$$

понимаю.