факторизация в задаче римана

[ecartman]

Известно, что интегральные уравнения с разностным ядром $K(x-y)$ сводятся к т.н. краевой задаче Римана о сопряжении аналитических функций. При решении одного такого уравнения где ядро является четной функцией $K(|x-y|)$ возникает необходимость в решении следующей задачи: найти $\psi_{+}(\lambda)$ и $\psi_{-}(\lambda)$ такие что

$$ (1-H(\lambda))^{-1}=\left(1-\frac{\Gamma(a+\imath \lambda)\Gamma(a-\imath \lambda)}{\Gamma(a+1/2)\Gamma(a-1/2)}\right)^{-1} = \psi_{+}(\lambda) \psi_{-}(\lambda), $$

где $a>1/2$, $\imath=\sqrt{-1}$ и $\lambda\in\mathbb{R}$. Функции $\psi_{+}(\lambda)$ и $\psi_{-}(\lambda)$ - голоморфные внутри и непрерывные в полуплоскостях $\mathbb{R}_{+}$ и $\mathbb{R}_{-}$ соответственно, и отличны от нуля каждая в своей полуплоскости. Условие нормировки: $\psi_{\pm}(\infty)=1$.

Можно показать, что в данном случае $1-H(\lambda)\neq0$ для всех $\lambda\in\mathbb{R}$ и $\mathrm{ind}(1-H)=0$. Из фундаментальной работы Крейна следует, что в этом случае $\psi_{+}(\lambda)$ и $\psi_{-}(\lambda)$ существуют и единственны. Кроме того, из-за симметрии ядра уравнения и функции $1-H(\lambda)$ имеем $\psi_{+}(\lambda)=\psi_{-}(-\lambda)$.

Вопрос в том, как найти эти функции (достаточно одну из них). Сначала я попытался использовать тот факт, что $|\Gamma(a+\imath \lambda)|^2=\Gamma(a+\imath \lambda)\Gamma(a-\imath \lambda)$, чтобы применить формулу разности квадратов. Тогда

$$ (1-H(\lambda))^{-1} = (1-|\Gamma(a+\imath \lambda)|/\sqrt{\Gamma(a+1/2)\Gamma(a-1/2)}})^{-1}(1+|\Gamma(a+\imath \lambda)|/\sqrt{\Gamma(a+1/2)\Gamma(a-1/2)}})^{-1} $$

и тогда $\psi_{\pm}(\lambda)$ находятся с точностью до множителя вида $e^{f(\lambda)$ где $f(\lambda)$ - целая нечетная функция. Однако не выполняется условие симметрии $\psi_{+}(\lambda)=\psi_{-}(-\lambda)$, т.е. нужно какой-то другой подход искать. Какие еще можно приемы тут применить? Представить все как квадратный корень умноженный сам на себя дважды?