Частицы и ячейки:

[xolodec]

Я немного запутался в решении таких задач, потому прошу помощи.

Есть $N+1$ частиц и $N$ ячеек.
а) Какова вероятность, что не останется ни одной свободной ячейки (во всех ячейках будет хотя бы одна частица) ?
б) Какова вероятность, что останется свободной одна ячейка ?

a) Для решения этой задачи можно рассмотреть последовательное заполнения частицами ячеек.
Необходимое нам событие состоит из расположения всех, кроме двух частиц по одной в любых из $N-1$ ячейках ($\frac{(N-1)!}{N^{N-1}}$)
Затем в заранее выбранную одним из $C_{N}^1$ способов ячейку мы должны положить две подряд частицы, что приводит нас к множителю $\frac{1}{N^2}$. Выбрать две частицы, которые можно положить подряд в конкретную ячейку можно $C_{N+1}^2$ способами. Перемножив все, получим: $C_{N+1}^2 \frac{N!}{N^{N+1}}$, что согласно ответу является правильным. Однако я не могу понять, правильно ли это все таки умножать на $C_{N+1}^2$. Как это умножение можно обьяснить правильно ? Почему вдруг, расположив все частицы кроме двух в ячейках нужно учесть, что эти частицы могут быть любые две из все (N+1)? Ведь частицы ненумерованные и все одинаковые ?



b) Такая задача уже публиковалась, но у меня возникли вопросы к подходу, который указан в ответе к этой задаче и к тому, что опубликован на сайте.

Ответ : $\frac{N!}{N^{N+1}} \left( \frac{C_{N+1}^2 C_{N-1}^2}{2} + C_{N+1}^3 \right)$
Вопрос: Почему мы еще делим на 2, когда считаем, что в двух разных ячейках по две частицы ? Остальной вывод кажется простым и понятным.

Ответ: $C_N^1\left(C_{N-1}^1 \frac {(N+1)!} {3!} + C_{N-1}^2 \frac {(N+1)!} {2! 2!} \right)$
(см. http://dxdy.ru/topic81070.html)
Вопрос: Почему мы делим на $2!2!$ и на $3!$ ? Ведь формула $(N+1)!$ есть всевозможная перестановка на $N+1$ местах? То есть, с учетом того, что у нас всего $N-1$ ячейка,
$(N+1)! = (N-1)! \cdot N \cdot N+1$. Что значат эти $N \cdot N+1$, если $(N-1)!$ есть всевозможная перестановка на $N-1$ свободной ячейке ?

[mihiv]

а) Судя по ответу, предполагается, что все частицы различные, отсюда и множители $C^2_{N+1}$ и $(N-1)!N$. Лучше исходить из вероятности конкретного распределения $N+1$ частиц по $N$ ячейкам, равной $\dfrac 1{N^{N+1}}$, и умножить её на число благоприятных распределений. То же и в задаче б).

[xolodec]

Благодарю!
С а) разобрался.
А с б) всё равно не понимаю.

[mihiv]

б) Рассмотрим число вариантов в случае, когда в двух ячейках по две частицы, одна ячейка пустая, в остальных ячейках по одной частице.
Пустую ячейку можно выбрать $C^1_N$ способами, из оставшихся $N-1$ ячеек выбрать две ячейки с двумя частицами можно $C^2_{N-1}$ способами, 4 частицы для этих двух ячеек выбираем $C^4_{N+1}$ способами, эти 4 частицы распределяем между двумя ячейками, что дает множитель $C^2_4$ и, наконец, перестановка $N-3$ частиц в ячейках, содержащих по одной частице, дает множитель $(N-3)!$. Всего получаем: $C^1_N\cdot C^2_{N-1}\cdot C^4_{N+1}\cdot C^2_4\cdot (N-3)!$ вариантов размещения частиц. Аналогично рассматриваем случай, когда одна ячейка содержит три частицы.

[xolodec]

Благодярю.
Разобрался!