элементарная топология, локальная линейная связность

[turbo123]

Здравствуйте.
В книжке Коснёвски по топологии есть такая задача (12.10(o))
$Z = A \cup B \cup C \cup D$, где:
$A = \{(x, y):\; x^2+y^2=1,\; y \geq 0\}$
$B = \{(x, y):\; -1 \leq x \leq 0,\; y=0\}$
$C = \{(x, y):\; 0 < x \leq 1,\;y=\frac{1}{2}\cdot\sin {\frac{\pi}{x}}\}$
$D=\{(x,y):\; (x-1)^2+y^2=1\}$

Необходимо доказать, что $Z$ линейно связно, но не локально линейно связно.

Для множества $A \cup B \cup C$ это же утверждение я доказал, но не понимаю, почему оно верно и для $Z$.
Набросок доказательства для $Z$:
Линейная связность очевидна. Далее, любая точка, отличная от начала координат, имеет сколь угодно малую линейно связную окрестность (гомеоморфную либо отрезку, либо "крестику", либо букве Т).
Если же мы рассмотрим малую прямоугольную, вытянутую по вертикали окрестность $U$ (стороны параллельны осям) начала координат, то и она будет линейно связной.
Интуитивно: все "обрезки" множества $C$ вблизи нуля будут пересекать $D$ внутри $U$(например, если $D$ пересекает $U$ на её правой границе), а тогда можно будет соединить любую точку из $U \cap C$ с началом путём, проходящим через $D$.
$A \cap U = \emptyset$ (при достаточной малости), а точки $B$ соединяются с $(0,0)$ тривиальным образом. Значит $U$ - линейно связная окрестность.
Ну а любая открытая окрестность в $\mathbb{R}^2$ содержит такой прямоугольник. Да, отношение его высоты к длине может стремиться к бесконечности, но мы всё равно сможем сделать высоту сколь угодно малой.

Где я заблуждаюсь?

[VanD]

Если я всё правильно понял, то у Вас $C$ и $D$ не пересекаются и проблема остаётся в точности та же, что для $A \cup B \cup C$. Например, окрестность точки $(0, 0)$ радиуса $\frac 1 2$ не содержит никакой линейно связной окрестности.

[turbo123]

VanD в сообщении #924525 писал(а):

Если я всё правильно понял, то у Вас $C$ и $D$ не пересекаются

$\frac{1}{2} \cdot \sin{\frac{\pi}{x}}$ ($x$ в знаменателе) вблизи нуля почти вертикально бегает от $-0.5$ до $0.5$, тем чаще, чем ближе к нулю. А дуга окружности $D$ (близко к началу координат) лежит внутри полосы $-0.5 < y < 0.5$
Они не пересекаются в нуле, но бесконечно много раз в любой его окрестности.

[VanD]

Пардон, я нарисовал не правильно.
Действительно, любая достаточно малая окрестность точки $(0, 0)$ как будто линейно связна.

Upd
Может речь о том, что $C$ не спрямляема, но ведь каждая конкретная её точка всё равно соединяема непрерывным путём с $(0, 0)$.
Опечатки быть не может? Они там бывали раньше?

[turbo123]

Опечатки всегда могут быть, но в английском издании написано так же.

[Evgenjy]

turbo123 в сообщении #924683 писал(а):

Опечатки всегда могут быть, но в английском издании написано так же.

Скажите, а в английском издании тоже вместо $\subset$ напечатано $\in$, а вместо $\{(x,y):\; (x-1)^2+y^2=1\}$ напечатано $ \{(x-1)^2+y^2=1\}$?
Если это так, то видна явная неаккуратность автора при подготовки задачи (p).

[turbo123]

Evgenjy в сообщении #924735 писал(а):

Скажите, а в английском издании тоже вместо $\subset$ напечатано $\in$, а вместо $\{(x,y):\; (x-1)^2+y^2=1\}$ напечатано $ \{(x-1)^2+y^2=1\}$?

Да, абсолютно так же, как и в русском (английское издание 1980 года, других не нашёл).