Что такое эта гомотопическая эквивалентность?

[VanD]

Никак не поддаётся пониманию, что это такое по сути своей, гомотопическая эквивалентность топологических пространств? Гомеоморфизм - биекция, сохраняющая структуру топологии, диффеоморфизм - ещё в нагрузку сохраняет гладкую структуру, но гомотопическая эквивалентность выглядит гораздо более сложным понятием - интуитивно это что-то вроде совпадения структуры дырявости, но её описывают гомотопические группы, а это нечто другое.

Можно считать, что это некоторая "содеформируемость", мол их можно так "отдеформировать по себе", то есть взять на них отображения в себя, гомотопные тождественным, что результаты деформаций будут завязаны друг с другом, будучи выражаемыми в виде композиций в разных порядках 2х отображений друг в друга. Но такое понимание нельзя счесть удовлетворительным - оно туманно и даже в простых ситуациях само по себе, оно не позволяет решать никакие задачи. Может, Вы подскажете, как можно это именно понять, что бы это для Вас ни значило?

[Munin]

VanD в сообщении #923905 писал(а):

интуитивно это что-то вроде совпадения структуры дырявости, но её описывают гомотопические группы, а это нечто другое.

А разве другое?

[VanD]

Другое.
Совпадение структур дырявости - попарная изоморфность всевозможных соответствующих гомотопических групп - это при выполнении некоторого требования называется слабой гомотопической эквивалентностью, если я не путаю, но это не то же самое.

[Brukvalub]

На мой взгляд, у гомотопической эквивалентности нет простого, наивного понимания, описываемого в интуитивно понятных терминах. Можно сказать так: у гомотопически эквивалентных топологических пространств совпадают все их алгебраические характеристики, которые вычисляются с помощью "гомотопической техники", а проще сказать не удастся.

[g______d]

Разницу между гомотопической эквивалентностью и гомеоморфизмом можно представить себе как то, что при гомотопической эквивалентности разрешено не только деформировать пространство, но и сплющивать/стягивать толстые куски, не меняя и не закрывая дырок. В частности, кольцо $\{z\in \mathbb C\colon 1\le |z|\le 2\}$ гомотопически эквивалентно окружности. Если $X$ -- топологическое пространство, то оно гомотопически эквивалентно $X\times [0,1]$. И т. п.

[Vince Diesel]

Мб есть какое-нибудь простое описание на языке теории категорий?

[Brukvalub]

Vince Diesel в сообщении #924221 писал(а):

Мб есть какое-нибудь простое описание на языке теории категорий?

Конечно, тогда все станет понятно даже домохозяйке! Как в "Сибирском цирюльнике":"Он русский. Это многое объясняет."

[Munin]

g______d
Ваш пример пока не выходит за рамки "совпадения структуры дырявости".

[g______d]

Munin в сообщении #924266 писал(а):

Ваш пример пока не выходит за рамки "совпадения структуры дырявости".

Теорема Уайтхеда говорит о том, что, при достаточно общих предположениях, если отображение индуцирует изоморфизмы всех гомотопических групп, то оно является гомотопической эквивалентностью. Поэтому пример, вылезающий за рамки, построить не так просто.

[Munin]

Меня устраивает, устроит ли ТС?

[VanD]

Насколько я помню (поправьте пожалуйста, если ошибаюсь), эта теорема не совсем то, что нужно. Она гарантирует совпадение понятий, если все изоморфизмы реализуются одним непрерывным отображением. Такое отображение называется слабой гомотопической эквивалентностью, но даже для слабо гомотопически эквивалентных топологических пространств, как ни странно с точки зрения терминологии, слабая гомотопическая эквивалентность есть не всегда. То есть, группы-то могут быть попарно изоморфны - "структуры дырявости" уже из-за этого совпадают, но отображения, реализующего все изоморфизмы разом, нет и тогда слабо гомотопически эквивалентные пространства могут оказаться не гомотопически эквивалентными, несмотря на одинаковость "структур дырявости".

[g______d]

VanD в сообщении #924292 писал(а):

То есть, группы-то могут быть попарно изоморфны - "структуры дырявости" уже из-за этого совпадают, но отображения, реализующего все изоморфизмы разом, нет и тогда слабо гомотопически эквивалентные пространства могут оказаться не гомотопически эквивалентными, несмотря на одинаковость "структур дырявости".

Все правильно. Я говорил только о том, что пример не так просто найти, но в википедии есть.

-- Ср, 29 окт 2014 14:04:52 --

VanD в сообщении #923905 писал(а):

Может, Вы подскажете, как можно это именно понять, что бы это для Вас ни значило?

Я не знаю, как это понимают настоящие топологи. Но для решения задач часто достаточно про несколько конкретных видов действий знать, что они являются эквивалентностями, а потом их комбинировать в разных сочетаниях.