Описание функционального пространства

[nckg]

Здравствуйте!
Скажите пожалуйста, где можно найти (желательно подробное) описание пространств вида:
$L_2([0,T];H^1(D))$, где, например, $D\subset\mathbb R^3$.
Заранее спасибо!

[Dan B-Yallay]

Немного об этом есть в книге, указанной в конце поста. Она на английском, поэтому постараюсь выложить здесь кратко по-русски. Извиняюсь за возможные мелкие опечатки и ошибки. Если что непонятно - спрашивайте.

Так как буква $D$ нам понадобится для сокращения обозначения производной, я заменю обозначение области $D \subset \mathbb{R}^3$ на $U \subset \mathbb{R}^3$

Сначала определение пространства Соболева $ W^{1,p} (U)$:
$ W^{1,p} (U)$ - пространство всех локально $L^p $ интегрируемых на $U$ функций, имеющих локально $L^p $ интегрируемые на $U$ производные первого порядка в "слабом" смысле.

$$ \int\limits_U |u(x)|^p dx < \infty$$

,

$$ \int\limits_U | D_{x_i} u(x)|^p dx < \infty$$

где $D_{x_i}=\frac{\partial}{\partial x_i}$ - слабая производная по переменной $x_i$

Норма в $ W^{1,p} (U)$ определяется так:

$||u||_{W^{1,p} (U)}= \left\{ \begin{array}{l} \left (\int\limits_U |u(x)|^p dx + \sum\limits_{i} \int\limits_U | D_{x_i} u(x)|^p dx)^{} \right )^{1/p} \ \ \ \ \ 1<p< \infty ,\\ ess \ sup_U |u(x)| + \sum\limits_{i} ess \ sup_U D_{x_i} |u(x)| \ \ \ \ \ p= \infty , \end{array} \right. $

Далее, пространство $H^1(U)$ определяется следующим образом:

$$H^1(U) = W^{1,2} (U) , \ \ \ \ (u,v)_{{H^1}(U)} = \int\limits_U u(x)v(x) dx + \sum\limits_i \int\limits_U D_{x_i} u(x) D_{x_i} v(x) dx$$

$$||u||_{{H^1}(U)}= \left (\int\limits_U |u(x)|^2 dx + \sum\limits_{i} \int\limits_U | D_{x_i} u(x)|^2 dx) \right )^{1/2} $$

Пусть $u$ теперь зависит еще и от времени, то есть имеем функцию $u(t,x) $ где $t \in [0,T], x \in U \subset \mathbb {R}^3$
Предположим, что для каждого фиксированного $t_0$ справедливо: $u(t_0, x) \in H^1(U)$
Тогда мы можем рассматривать $u(t,x)$ как оператор

$\textbf u(t): [0,T] \rightarrow H^1(U), $
$\textbf u(t_0) = u(t_0,x)$

Зададим норму этого оператора таким образом:

$$|| \textbf u|| = \left (\int\limits_0^T ||u(t,x)||_{{H^1}(U)}^2 dt \right )^{1/2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*)$$

Пространство $L^2([0,T], H^1(U))$ есть множество таких функций $u(t,x)$ определенных на $[0,T]$x$ U$ так что указанная норма $(*)$ конечна.

См. Lawrence C. Evans "Partial Differential Equations" (Sobolev spaces, Parabolic Equations)

[nckg]

Спасибо за ответ!
Любопытная, кстати, книга, только нумерация страниц немного странная (например, в оглавлении написано, что раздел, посвященный пространствам Соболева, находится на стр. 251, а реально - на стр. 239. Или мне копия неудачная попалась...).

Есть ещё небольшой вопрос: является ли пространство $L_2([0,T];H^1(U))$ банаховым?
(т.е. является ли оно полным в смысле нормы (*)?)

[Dan B-Yallay]

nckg писал(а):

Есть ещё небольшой вопрос: является ли пространство $L_2([0,T];H^1(U))$ банаховым?
(т.е. является ли оно полным в смысле нормы (*)?)

Норма $(*)$ и есть норма в $L^2([0,T], H^1(U))$ . Раз его обозначили $L^2$... я думаю оно не только полное (банахово), но еще и Гильбертово.