Производная от кинетической энергии

[Nu11ers3t]

Всем привет, не могу разобраться.

Производная кинетической энергии по времени ведь равняется ( по моим расчетам ).

$\frac{dE}{dt} = \frac{d(\frac{mv^2}{2})}{dt} = mv$

А в учебнике (ФЛФ) это равняется: $mv\frac{dv}{dt}$

Я не совсем видимо понял, как находить производную по времени, когда его нету в функции . Выходит, что я нашел производную по скорости, а не по времени? Как тогда найти по времени, распишите плиз нубу

P.S. А производная энергии по скорости, это скорость изменения энергии, при изменении скорости? Выходит, если я вычислил производную по скорости, и она получилась равная импульсу, то... импульс - это скорость изменения энергии, при изменении скорости?

[Ms-dos4]

Если $m = {\mathop{\rm const}\nolimits}$, то $\frac{d}{{dt}}[\frac{{m{v^2}}}{2}] = \frac{m}{2}\frac{d}{{dt}}{v^2} = mv\dot v$, всё верно в ФЛФ (ведь $v = v(t)$, вот и вспомните формулу дифференцирования сложной функции).

[Nu11ers3t]

Ms-dos4 в сообщении #923977 писал(а):

Если $m = {\mathop{\rm const}\nolimits}$, то $\frac{d}{{dt}}[\frac{{m{v^2}}}{2}] = \frac{m}{2}\frac{d}{{dt}}{v^2} = mv\dot v$, всё верно в ФЛФ (ведь $v = v(t)$, вот и вспомните формулу дифференцирования сложной функции).

Спасибо.
А я и не спорю, что верно.

Не совсем понял, разве $\frac{dv^2}{dt}$ не равняется $2v$? Поправьте где ошибаюсь....

P.S. Правило дифференцирования сложной функции: $f(g(x))' = f(x)'g(x)'$. Но не вижу, где в нашем случае сложная функция?

P.P.S. Может уже ночь и мозг не работает

[Ms-dos4]

Итак, пусть $f(v) = {v^2}$, т.е. $\dot f = \frac{{df}}{{dt}} = \frac{{df}}{{dv}} \cdot \frac{{dv}}{{dt}} = 2v\dot v$
Вы просто правила не понимаете, где по чему дифференцируют.

$$(f(g(x)))' = {f_g}' \cdot {g_x}' = \frac{{df}}{{dg}}\frac{{dg}}{{dx}}$$

[Nu11ers3t]

Ms-dos4 в сообщении #923983 писал(а):

Итак, пусть $f(v) = {v^2}$, т.е. $\dot f = \frac{{df}}{{dt}} = \frac{{df}}{{dv}} \cdot \frac{{dv}}{{dt}} = 2v\dot v$
Вы просто правила не понимаете, где по чему дифференцируют.

$$(f(g(x)))' = f_g^' \cdot g_x^' = \frac{{df}}{{dg}} \cdot \frac{{dg}}{{dx}}$$

аа, спасибо. Понял.

[Alex_J]

Вам будет понятнее, если Вы поймёте, что Ваш результат это производная по $dv$, а не по $dt$.

$\frac{d}{dv}\frac{mv^2}{2}=mv$

Замените $v$ на $x$, если в таких обозначениях будет очевиднее. Когда применяется математика, дайте работать математике.

[rustot]

можно еще поделить на $dt$ выражение $\vec{F}\vec{dr} = d\frac{m v^2}{2}$

[GrishinSG]

Это не номер. Вот если взять интеграл от количества движения по скорости и интеграл от импульса силы
по времени, то получатся величины с разными физическими размерностями. Или это тоже не номер?

[rustot]

импульс умноженный на время и импульс умноженный на скорость это величины разных размерностей, почему ожидалось одной?

[GrishinSG]

rustot в сообщении #940865 писал(а):

импульс умноженный на время и импульс умноженный на скорость это величины разных размерностей, почему ожидалось одной?

А зачем Вы импульс силы и количество движения на что-то умножаете? Разве об этом речь?
Я ничего ни на что не умножаю...

[rustot]

интегрирование суть умножение. несколько усложненное, но по сути умножение. поэтому это вопрос именно к вам, что вы ожидали получить умножая импульс на скорость. и почему удивляетесь что умножение на время вместо скорости дает другую размерность результата

[DimaM]

rustot в сообщении #941984 писал(а):

интегрирование суть умножение.

Скорее, все-таки, сложение.

[rustot]

для получения пути умножаем среднюю скорость на время -> для получения пути интегрируем скорость по времени.

[DimaM]

rustot в сообщении #942024 писал(а):

для получения пути интегрируем скорость по времени

Складываем кусочки пути - скорости, умноженные на кусочки времени.

[Munin]

DimaM в сообщении #942013 писал(а):

Скорее, все-таки, сложение.

На меру - умножение. А потом получившиеся произведения можно складывать.