Оценка скалярного произведения нормальных векторов

[vlad_light]

Пусть даны два центрированных нормальных вектора:

$$\mathbf x \oplus \mathbf y \sim \mathcal N(\mathbf 0, \sigma _x^2I \oplus \sigma _y^2I) $$

Мне нужно хорошо оценить сверху их скалярное произведение: $|\langle \mathbf x, \mathbf y\rangle|$. Рассуждаю так:

$$|\langle \mathbf x, \mathbf y\rangle| = |\langle \sigma _x\mathcal N, \sigma _y\mathcal N\rangle|\leq \sigma _x\sigma _y \|\mathcal N\|^2 =\sigma _x\sigma _y \chi ^2_m$$

Тогда

$$\mathbb P(|\langle \mathbf x, \mathbf y\rangle| > z)\leq 1 - F_{\chi ^2 _m}\left (\frac {z}{\sigma _x\sigma _y}\right )=\varepsilon (z)$$

Нигде не ошибся? Если нет -- то есть два вопроса:
1. Оценка $|\langle \cdot,\cdot \rangle |\leq \|\cdot \|^2$ в моём случае достаточно грубая, поскольку вероятность того, что равенство будет достигаться сильно падает с ростом длины вектора. Какие есть предложения?
2. Если в первом вопросе ничего нельзя придумать, как хорошо оценить $\varepsilon (z)$?
Заранее благодарен!
P.S. Возможно есть другой подход для оценки $|\langle \mathbf x, \mathbf y\rangle|$?
Я тут ещё подумал, что если $\xi = \mathcal N(0, \sigma _x^2)\cdot \mathcal N(0, \sigma _y^2)$, то $\mathbb E\xi = 0, \mathbb V\xi = \sigma _x^2\sigma _y^2$, $\langle \mathbf x, \mathbf y\rangle \approx \mathcal N(0, m\sigma _x^2\sigma _y^2)$ и

$$\mathbb P(|\langle \mathbf x, \mathbf y\rangle| > z) \approx 1 - \operatorname{erf} \left (\frac {z}{\sqrt {2m} \sigma _x\sigma _y} \right )$$