неравенство 1

[fibonacci]

If a,b,c positive numbers and such that $a+\sqrt{b+\sqrt{c}}=c+\sqrt{b+\sqrt{a}}$. Prove that if $a\neq c$ then $40ac<1$.

[gris]

Я бы рассмотрел поведение функции $f(x)=x-\sqrt {b+\sqrt {x}}$. Она там вблизи нуля делает дугу, на которой располагаются всевозможные пары $a$ и $c$. Дуга по $x$ слева ограничена нулём, а справа ясно чем. Мне кажется, что максимум произведения достигается в минимуме функции (около него, поэтому недостижимый). Ну и $b$ тоже устремить к нулю. Да, интуитивно всё так и получается, а вот как строго доказать? Может быть, условный экстремум?

+++ после следующего сообщения. А я по простоте душевной взял, да и занулил $b$ и нашёл минимум функции $x+\sqrt [4] x$. Производная легко считается. Ответ — квадрат её нуля. И получилось в аккурат $(0.25)^{8/3}$.

[arqady]

See here:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0#p3636680