Посчитать свертку по значкам

[studentmk_32]

Здравствуйте. Помоги, пожалуйста, разобраться.

Утверждается, что:

$-\frac{e}{2}\sigma_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ = ie(\partial_{\mu}A^{\mu} - \gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\partial_{\mu}A_{\nu})$, здесь $e$ - заряд электрона, $\sigma_{\mu\nu} = \frac{i}{2}[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]$, где $\gamma^{\mu}$ - матрицы Дирака, а $F^{\mu\nu}$ - тензор электромагнитного поля.

На слово верить не хочется, так что надо проверить.

Я расписал $\sigma_{\mu\nu} = \frac{i}{2}(\gamma^{\mu}\gamma^{\nu} - \gamma^{\nu}\gamma^{\mu})$ и, воспользовавшись $\gamma^{\mu}\gamma^{\nu} + \gamma^{\nu}\gamma^{\mu} = 2g^{\mu\nu}$, подставил.

Получается $-\frac{ei}{2}(\gamma^{\mu}\gamma^{\nu} - g_{\mu\nu})(\partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu})$.

Если раскрывать скобки, то, по моему, $g_{\mu\nu}(\partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu})$ вообще ноль даст. Да и сгруппировать остальные слагаемые у меня тоже не получается.

В трех соснах заблудился, помогите, пожалуйста.

[Munin]

studentmk_32 в сообщении #923126 писал(а):

Я расписал $\sigma_{\mu\nu} = \frac{i}{2}(\gamma^{\mu}\gamma^{\nu} - \gamma^{\nu}\gamma^{\mu})$ и, воспользовавшись $\gamma^{\mu}\gamma^{\nu} + \gamma^{\nu}\gamma^{\mu} = 2g^{\mu\nu}$, подставил.

Получается $-\frac{ei}{2}(\gamma^{\mu}\gamma^{\nu} - g_{\mu\nu})(\partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu})$.

Не путайте верхние и нижние индексы. Нельзя писать равенство, в котором с одной стороны мю и ню сверху, а с другой стороны - снизу. Точно так же, нельзя писать скобку, в которой у одного слагаемого индексы мю и ню сверху, а у другого - снизу.

studentmk_32 в сообщении #923126 писал(а):

Если раскрывать скобки, то, по моему, $g_{\mu\nu}(\partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu})$ вообще ноль даст.

Это правильно, чисто из симметрии.

[studentmk_32]

Munin в сообщении #923204 писал(а):

Не путайте верхние и нижние индексы. Нельзя писать равенство, в котором с одной стороны мю и ню сверху, а с другой стороны - снизу. Точно так же, нельзя писать скобку, в которой у одного слагаемого индексы мю и ню сверху, а у другого - снизу.

Виноват. Скопировал и не перепроверил.

Munin в сообщении #923204 писал(а):

Это правильно, чисто из симметрии.

Ага, спасибо. А то почему-то сомнения грызли.

Равенство доказал.

[Munin]

Покажите уж тогда, для красоты, что получилось.

[studentmk_32]

Как-то так:

$-\frac{ei}{2}(\gamma_{\mu}\gamma_{\nu} - g_{\mu\nu})(\partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu}) = -\frac{ei}{2}(\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\partial^{\mu}A^{\nu} - \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\partial^{\nu}A^{\mu}) = \\ -\frac{ei}{2}(\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\partial^{\mu}A^{\nu} - \gamma_{\nu}\gamma_{\mu}\partial^{\mu}A^{\nu})$

Используя свойство матриц Дирака, получаем:

$ -\frac{ei}{2}(2\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\partial^{\mu}A^{\nu} - 2g_{\mu\nu}\partial^{\mu}A^{\nu}) = ei(\partial_{\mu}A^{\mu} - \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\partial^{\mu}A^{\nu})$

Что и требовалось.