Доказательство неравенства

[StaticZero]

Условие задачи:

Цитата:

Докажите, что, если $a + b + c = 12$, то выполняется неравенство $\sqrt{2a + 1} + \sqrt{2b + 1} + \sqrt{2c + 1} \leq 9$.

Как можно решать такую задачу, если не знать ничего о векторах?

[nnosipov]

Например, свести к неравенству между средним арифметическим и средним квадратичным. (А оно, в свою очередь, сводится к неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим, которое все знают.)

[StaticZero]

Произведём замену переменных:

$2a + 1 = x$
$2b + 1 = y$
$2c + 1 = z$
$x + y + z = 27$

Рассмотрим неравенство

$$\dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}}{3} \leq \sqrt{\dfrac{x + y + z}{3}}$$

Возведём обе части в квадрат, получим

$$(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})^2 \leq 3(x + y + z)$$

$$x + y + z + 2(\sqrt{xy} + \sqrt{xz} + \sqrt{yz}) \leq 3(x + y + z)$$

$$2(\sqrt{xy} + \sqrt{xz} + \sqrt{yz}) \leq 2(x + y + z)$$

Это верно, так как неравенство есть результат сложения всех неравенств в системе

$$\begin{cases} x + y \geq 2\sqrt{xy}, \\ x + z \geq 2\sqrt{xz}, \\ y + z \geq 2\sqrt{yz} \\ \end{cases}$$

Отсюда $\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \leq 3\sqrt{\dfrac{27}{3}} = 3 \cdot 3 = 9$, ч.т.д.

[Rak so dna]

StaticZero в сообщении #923181 писал(а):

Условие задачи:

Цитата:

Докажите, что, если $a + b + c = 12$, то выполняется неравенство $\sqrt{2a + 1} + \sqrt{2b + 1} + \sqrt{2c + 1} \leq 9$.

Как можно решать такую задачу, если не знать ничего о векторах?

Можно еще так:
Легко показать, что
$\sqrt{(a+b+c)(25a + b + c)}\leq \frac{17a+5b+5c}{3}$
$\sqrt{(a+b+c)(a + 25b + c)}\leq \frac{5a+17b+5c}{3}$
$\sqrt{(a+b+c)(a + b + 25c)}\leq \frac{5a+5b+17c}{3}$
складывая эти три неравенства и произведя очевидные упрощения, получим требуемое неравенство

[arqady]

StaticZero в сообщении #923181 писал(а):

Условие задачи:

Цитата:

Докажите, что, если $a + b + c = 12$, то выполняется неравенство $\sqrt{2a + 1} + \sqrt{2b + 1} + \sqrt{2c + 1} \leq 9$.

Это неверно. Возьмите $a=b=-1$ и $c=14$.

[Rak so dna]

arqady в сообщении #923382 писал(а):

Это неверно. Возьмите $a=b=-1$ и $c=14$.

По модулю верно