Олимпиада ЯГТУ 2014

[denisart]

Всероссийская студенческая олимпиада по математике (3 этап), 7 международная студенческая олимпиада по математике ЯГТУ, 14-17 октября 2014 года

1. На окружности радиуса 1 отмечено 33 точки. Доказать, что из них можно выбрать три точки $A, B$ и $C$ так, чтобы площадь треугольника $ABC$ была меньше 0,01.

2. Найти хотя бы одно решение матричного уравнения $X^2-2X-Q=0$, где $Q$ - квадратная матрица 2014 порядка, на главной диагонали которой стоят нули, а вне её - единицы, $O$ - нулевая матрица.

3. Доказать, что середины параллельных отрезков с концами на разных ветвях гиперболы образуют прямую.

4. Найди $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+ \dots + \frac{1}{2n-1}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ \frac{1}{6}+ \dots + \frac{1}{2n}}$.

5. Для функции $f(x)=e^{-\frac{1}{\tg^2x}}, x \ne 0, f(x)=0, x=0$ найдите $f'(0)$.

6. Пусть $f(x)$ - отношение многочленов, $\lim\limits_{n \to \infty} f'(x) =0$. Доказать, что график функции $f(x)$ имеет невертикальную асимптоту.

7. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции $f(x)=x\int\limits_{0}^{x} e^{t^2} dt$.

8. Найти все функции $y(x), y \in R$, такие, что для любого $x \in R$ $y'(x)=\int\limits_{0}^{1} \max\{1,y(x)\}dx , y(0)=1/2$.

9. Пусть функция $f(x), x \in (0, \infty)$ непрерывно дифференцируема, не обращается в нуль и её производная $f'(x) \sim -f^2(x)$ при $x \to +\infty$. Доказать, что $\lim\limits_{n \to +\infty} f(x) =0$.

10. Сходится ли ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctg(n^2)\right)$?

[ewert]

denisart в сообщении #920417 писал(а):

2. Найти хотя бы одно решение матричного уравнения $X^2-2X-Q=0$, где $Q$ - квадратная матрица 2014 порядка, на главной диагонали которой стоят нули, а вне её - единицы, $O$ - нулевая матрица.

$Q+E$ пропорциональна ортопроектору на вектор, составленный из единичек.

denisart в сообщении #920417 писал(а):

6. Пусть $f(x)$ - отношение многочленов, $\lim\limits_{n \to \infty} f'(x) =0$. Доказать, что график функции $f(x)$ имеет невертикальную асимптоту.

Зачем доказывать невертикальность, когда она горизонтальна?

denisart в сообщении #920417 писал(а):

10. Сходится ли ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctg(n^2)\right)$?

Достаточно взять котангенс от общего члена.

[SpBTimes]

denisart в сообщении #920417 писал(а):

4. Найди $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+ \dots + \frac{1}{2n-1}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ \frac{1}{6}+ \dots + \frac{1}{2n}}$.

Штольц

[dm]

denisart
Это который из текстов? (математики/технари/аграрии/экономисты/педагоги, 2 курс/3-5 курсы) Или все тексты были одинаковые?
Резы где-то есть? (Частичные нашел здесь: http://www.baumo.narod.ru/Yaros2014.doc )

[denisart]

dm в сообщении #921221 писал(а):

denisart
Это который из текстов? (математики/технари/аграрии/экономисты/педагоги, 2 курс/3-5 курсы) Или все тексты были одинаковые?
Резы где-то есть? (Частичные нашел здесь: http://www.baumo.narod.ru/Yaros2014.doc )

У всех были одинаковые задания.

[fibonacci]

SpBTimes в сообщении #920872 писал(а):

denisart в сообщении #920417 писал(а):

4. Найди $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+ \dots + \frac{1}{2n-1}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ \frac{1}{6}+ \dots + \frac{1}{2n}}$.

Штольц

Вы имели в виду Stolz Cesaro?

[SpBTimes]

fibonacci
Теорему Штольца я имею в виду, аналог Лопиталя, но дискретный.

[ewert]

Возможно, расчёт был на то, что теорему Штольца не все проходят, а конкретно тут и без неё легко: достаточно заметить, что эта дробь равна

$\dfrac{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+ \dots + \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ \frac{1}{6}+ \dots + \frac{1}{2n}}+1$


Ещё 5-я задачка совсем уж тривиальна; 7-я вообще какая-то странная. 9-ю тоже можно назвать олимпиадной лишь с некоторой натяжкой, как и 3-ю (9-я совершенно стандартна, а 3-я решается тупым счётом). Первая, может, и была бы олимпиадной, но там какой-то глюк: 33-х точек не хватит, нужно не менее 37-ми. В общем, на олимпиадную тянет разве что 8-я.

[TOTAL]

ewert в сообщении #922478 писал(а):

Первая, может, и была бы олимпиадной, но там какой-то глюк: 33-х точек не хватит, нужно не менее 37-ми.

Найдутся три точки на дуге не длиннее $4\pi/33$

[ewert]

TOTAL в сообщении #922510 писал(а):

Найдутся три точки на дуге не длиннее $4\pi/33$

Конечно. Но она слишком длинная.

[TOTAL]

ewert в сообщении #922513 писал(а):

TOTAL в сообщении #922510 писал(а):

Найдутся три точки на дуге не длиннее $4\pi/33$

Конечно. Но она слишком длинная.

$(2\pi/33)^3 < 0.01$
Если хорда равна $2x$, то высота треугольника с основанием на этой хорде не больше $x^2$

[ewert]

TOTAL в сообщении #922519 писал(а):

$(2\pi/33)^3 < 0.01$

Да, я действительно забыл разделить на два. Но тогда там другая крайность: хватило бы и 24 точек. В общем, Очень Странная Олимпиада (и даже 8-я задачка, к которой мне было лень присматриваться -- тоже несколько странная, тем более что неграмотно оформлена).

[SpBTimes]

ewert
А как бы вы решали 9ую, если она стандартна?

[ewert]

SpBTimes в сообщении #924287 писал(а):

А как бы вы решали 9ую, если она стандартна?

Достаточно считать, что функция положительна. Тогда она имеет конечный предел на бесконечности (в силу монотонности). По теореме Лагранжа производная стремится к нулю как минимум по некоторой последовательности точек, уходящей на бесконечность. Следовательно, и сама функция стремится именно к нулю.

[TelmanStud]

Задача 4.
$\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+ \dots + \frac{1}{2n-1}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ \frac{1}{6}+ \dots + \frac{1}{2n}}$
Нельзя через разложение Тейлора?
$\lim\limits_{x \to 1}\cfrac{\ln\left[\sqrt{\cfrac{1}{-x+1}}\right]}{\ln\left[\sqrt{\cfrac{x+1}{-x+1}}\right]}=$
Далее по Лопиталю
$=\lim\limits_{x \to 1}\cfrac{x+1}{2}=1$