Положительная определенность AB+BA при A>0, B>0

[Arastas]

Добрый день!

Помогите, пожалуйста, с матрицами. Есть матрица $A$ - диагональная, все элементы различны и положительны. Есть матрица $B=B^\top>0$. В каком случае матрица $C:=AB+BA$ также будет положительно определенной?
Я знаю, что, достаточным условием будет коммутативность матриц $A$ и $B$: $AB=BA$, например, при диагональной $B$. В то же время это условие достаточное, но не необходимое. А какие есть необходимые и достаточные условия?

[ИСН]

Что означает запись "матрица больше нуля"? Что все элементы больше нуля? И у другой тоже? Ну тогда больше ничего не ищите, этого достаточно.

[Arastas]

Под $A>0$ я имею ввиду, что $A$ положительно определена, т.е. $x^\top A x >0$ $\forall x$.

[patzer2097]

Хороших необходимых и достаточных условий вроде бы неизвестно. Зато известны неулучшаемые оценки на собственные значения $AB+BA$, и из них можно получить нетривиальные достаточные условия для положительной определенности.

Смотрите, например, W. Gilbert Strang, Eigenvalues of Jordan Products, The American Mathematical Monthly, 69, 1, 1962, 37-40, а также
D.W. Nicholson, Eigenvalue bounds for AB+BA, with A,B positive definite matrices, статья легко доступна в интернете тут.

Надеюсь, это сможет помочь.

[Arastas]

Спасибо, посмотрю. Я надеялся, получится упростить задачу за счет того, что одна из матриц диагональная.

[patzer2097]

Arastas в сообщении #922373 писал(а):

Я надеялся, получится упростить задачу за счет того, что одна из матриц диагональная.

Это вряд ли получится, т.к. одна из матриц всегда диагональна с точностью до смены базиса.

[Munin]

Простите за наивный вопрос, а можно контрпример, когда $AB+BA$ не будет положительно определённой?

[Arastas]

$A=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}68 & -102 \\ -102 & 170\end{bmatrix}$

[Munin]

Спасибо!

[patzer2097]

или $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&\varepsilon\end{pmatrix}$ и $B=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$

[Munin]

Ага, понял структуру этих примеров (она одинакова).

[Arastas]

patzer2097 в сообщении #922366 писал(а):

Смотрите, например, W. Gilbert Strang, Eigenvalues of Jordan Products, The American Mathematical Monthly, 69, 1, 1962, 37-40, а также
D.W. Nicholson, Eigenvalue bounds for AB+BA, with A,B positive definite matrices, статья легко доступна в интернете тут.
Надеюсь, это сможет помочь.

Спасибо, действительно помогли, удалось на пару шагов продвинуться. Далее задача перешла на свойства решения уравнения Ляпунова, пойду создам тему с вопросом.