Найти зависимость разрядного тока от времени(конденсаторы)

[tobemyassassin]

Добрый день, форумчане. Возникла проблема с задачей из общей физики.

Задача

К заряженному до напряжения $U_0$ конденсатору емкостью $C_1$ с помощью ключа $K$ через сопротивление $R_1$ подсоединяется незаряженный конденсатор С2, цепь $C_1-C_2$ замыкается через сопротивление $R_2$. Найти зависимость разрядного тока от времени.

Не получается правильно составить диф-е уравнение. Мне надо пользоваться 2-м законом Кирxгофа и свойством сохранения заряда.

Сначала заряд был системы $Q=C_1U_0$. После замыкания будет $Q = Q_1 + Q_2 = C_1 U_0

Тогда на мой взгляд можно написать такое уравнение.
$Q_1(t) / C_1 + (C_1 U_0 - Q_1(t))/ C_2 + I R_1 + I R_2$, где $I = dQ(t)/dt$

Прокомментируйте пожалуйста, заранее спасибо!

[Mihr]

tobemyassassin в сообщении #921123 писал(а):

Тогда на мой взгляд можно написать такое уравнение.
$Q_1(t) / C_1 + (C_1 U_0 - Q_1(t))/ C_2 + I R_1 + I R_2$, где $I = dQ(t)/dt$

Вообще-то, уравнение должно содержать знак равенства.
Вы, вероятно, имели в виду
$Q_1(t) / C_1 = (C_1 U_0 - Q_1(t))/ C_2 + I R_1 + I R_2$ ?
Так будет верно.
Далее нужно заменить силу тока согласно равенству $I=dQ_1(t) / dt$ и решать.

[rustot]

Если легким путем - то это тот же ток, что у одной составной емкости (последовательное соединение), которая заряжена до того же напряжения что первая емкость и разряжающаяся на сопротивление. Заряд при этом "теряется", но это правильно, потому-что "нулевой" заряд разрядившейся составной емкости означает ненулевой заряд на каждой из реальных емкостей.

Если же такими догадками не пользоваться, то исходить из постоянной нулевой суммы напряжений на элементах $\frac{q}{C_1} + \frac{q}{C_2} + R\frac{dq}{dt} = 0$ только правильно расставить на схеме и в уравнении знаки напряжений и положительное направление тока

[tobemyassassin]

2Mihr & 2rustot

Я забыл знак равенства, но я хотел написать так
$Q_1(t) / C_1 + (C_1 U_0 - Q_1(t))/ C_2 + I R_1 + I R_2 = 0$, где $I = dQ(t)/dt$

Почему вы 1 слагаемое перенесли в другую часть с положительным знаком? из-за направления тока?

[rustot]

вы вольны напряжения и токи на схеме расставить как вам хочется, соответствующими будут и знаки в записи. важно только то, что сумма напряжений по контуру была бы нулевой, как бы хаотично вы не расставили знаки напряжений на каждом из элементов

допустим вы расположили в одну линию слева направо: заряженый конденсатор, незаряженый конденсатор, резистор. за положительное напряжение тока выбрали слева направо, а за положительное напряжение всех элементов такое, когда потенциал левой ноги больше чем у правой. тогда у слагаемых относящихся к конденсатору будет знак плюс (положительный ток увеличивает положительное напряжение) и у слагаемого относящегося к резистору будет знак плюс (положительный ток создает положительное падение) напряжение.

но вы могли и по другому все разрисовать и получились бы другие знаки. допустим заряженый нарисовать слева вертикально, а незаряженный с резистором нарисовать справа вертикально, приняв за положительное напряжение когда потенциал верхней ноги больше нижней, а положительный ток течет по часовой стрелке. знаки поменяются, но результат качественно от этого не изменится, поскольку соответственно этому выбору будет выбран и знак начального напряжения $U_0$, только ток может получиться отрицательным, если вы "неудачно угадали" его положительное направление

и в уравнении у вас не должно присутствовать $U_0$. оно (в виде $U_1(t = 0) = U_0$) должно подставляться уже после решения уравнения в общем виде, как начальное условие, по которому вы вычислите недостающие константы

-- 20.10.2014, 15:37 --

ps. наврал малость. $q$ - в данном случае переменная "протекший по цепи заряд", поэтому напряжения на емкостях не $\frac{q}{C}$ а $\frac{q_0+q(t)}{C}$

[tobemyassassin]

Спасибо за подробное объяснение - задачу решил.

[ktoto]

tobemyassassin в сообщении #922389 писал(а):

Спасибо за подробное объяснение - задачу решил.

А напишите окончательное уравнение.

[tobemyassassin]

$Q_2/C_2 - (C_1U_0 - Q_2)/C_1 + dQ_2/dt (R_1+R_2)=0$
начальное условие $Q_2(0) = 0$

[ktoto]

Спасибо