2015 целых чисел (по мотивам задачи С. Л. Берлова)

[Ktina]

(по мотивам задачи С. Л. Берлова)

По кругу расставлены 2015 целых чисел. Известно, что каждые два соседних числа отличаются либо на 2, либо на 6, либо втрое, либо всемеро.
Доказать, что хотя бы одно из этих чисел кратно 4.

[hippie]

Все числа имеют одинаковую чётность.

Все не могут быть нечётными, т.к. иначе остаток от деления любых двух соседних чисел на 4 отличался бы на 2, а значит (поскольку чисел нечётное число) каждое из выписанных чисел давало бы остаток 1 и 3 одновременно.

Если все числа чётные, и среди них есть пара отличающихся на 2 или на 6, то одно из чисел этой пары кратно 4.

Если все пары соседних чисел отличаются либо втрое либо всемеро, то (поскольку чисел нечётное число) все они равны 0 (и кратны 4).

[Ktina]

hippie в сообщении #922347 писал(а):

Если все пары соседних чисел отличаются либо втрое либо всемеро, то (поскольку чисел нечётное число) все они равны 0 (и кратны 4).

Вот эту Вашу фразу я поясню, поскольку смысл её не столь очевиден: чётность суммы количеств троек и семёрок в разложении числа на множители изменяется при каждом умножении (или делении) на 3 или на 7.