Помогите найти ошибку в рассуждениях

[tech]

Здравствуйте.
Есть следующая задача:
В плоский конденсатор параллельно обкладкам вставлена диэлектрическая пластина с проницаемостью $\varepsilon$, толщина которой равна $h$. Поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора равна $\sigma$. Найти циркуляцию вектора $\textbf{D}$ по контуру $L$. Положительное направление обхода контура указано на рисунке.

(Оффтоп)

Назовём часть контура внутри диэлектрика буквой $I$, а оставшуюся часть – буквой $E$ (internal и external по отношению к диэлектрику).

$$\oint\limits_L \textbf{E}d\textbf{l}=0= \int\limits_E \textbf{D}d\textbf{l}+\int\limits_I \frac{\textbf{D}}{\varepsilon}d\textbf{l}$$

$$\oint\limits_L \textbf{D}d\textbf{l}=\int\limits_E \textbf{D}d\textbf{l}+\int\limits_I \textbf{D}d\textbf{l}=-\int\limits_I \frac{\textbf{D}}{\varepsilon}d\textbf{l}+\int\limits_I \textbf{D}d\textbf{l}=\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}\int\limits_I \textbf{D}d\textbf{l}$$

$$D=4\pi \sigma \Rightarrow \oint\limits_L \textbf{D}d\textbf{l}=\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon} 4\pi \sigma h$$

Но ведь $\operatorname{rot}\textbf{E}=0$, в вакууме $\textbf{D}=\textbf{E}$, а в диэлектрике $\textbf{D}=\varepsilon\textbf{E}$.
Следовательно, $\operatorname{rot}\textbf{D}=0$ всюду.
Следовательно,

$$\oint\limits_L \textbf{D}d\textbf{l}=\int\limits_S \operatorname{rot}\textbf{D}d\textbf{S}=0$$

В чём я ошибаюсь?

[Munin]

tech в сообщении #920852 писал(а):

$$D=4\pi \sigma \Rightarrow \oint\limits_L \textbf{D}d\textbf{l}=\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon} 4\pi \sigma h$$

Это правильный ответ.

tech в сообщении #920852 писал(а):

Но ведь $\operatorname{rot}\textbf{E}=0$, в вакууме $\textbf{D}=\textbf{E}$, а в диэлектрике $\textbf{D}=\varepsilon\textbf{E}$.
Следовательно, $\operatorname{rot}\textbf{D}=0$ всюду.

Вот это ошибка. $\operatorname{rot}\mathbf{D}\ne 0,$ хотя и $\operatorname{rot}\mathbf{E}=0.$

Советую быстренько прочитать первые главы книжки
Зильберман. Электричество и магнетизм.
Там, правда, дивергенция и ротор напрямую так не называются, вместо них говорят "источники" и "вихри", но очень подробно и наглядно рассказаны соотношения и граничные условия для электрических и магнитных полей, показаны на хороших рисунках.

Потом всё то же самое можно прочитать по серьёзной литературе, например, в Тамме можно найти прямо выражение для $\operatorname{rot}\mathbf{D}=\ldots$ (в этом выражении встречается производная от $\varepsilon,$ так что на границе раздела сред сосредоточен и ротор).

[tech]

Спасибо за помощь.

[Munin]

Книжку почитаете? Скажите, что почитаете!

[tech]

Munin

А я уже почитал первые три главы.
Интересная книга. С одной стороны, на первых 50-ти страницах почти нет формул, а с другой – если бы я не знал соответствующую математику, то ничего не понял бы.

А вообще, картина стала пояснее. Раньше я думал, что если в электрической системе все диэлектрики однородные, то есть $\textbf{D}=\varepsilon \textbf{E}$, то поле вектора $\textbf{D}$ такое, каким было бы поле $\textbf{E}$, если бы оно создавалось одними только свободными зарядами. А оказалось, что это работает, только если поверхностные роторы $\textbf{D}$ нулевые. А для этого нужно, чтобы вектор $\textbf{E}$ падал на все границы под прямым углом.

[Munin]

Да. Вот этот факт от многих ускользает, когда занимаются этой темой неглубоко и "по касательной".

[DimaM]

tech в сообщении #921314 писал(а):

Раньше я думал, что если в электрической системе все диэлектрики однородные, то есть $\textbf{D}=\varepsilon \textbf{E}$, то поле вектора $\textbf{D}$ такое, каким было бы поле $\textbf{E}$, если бы оно создавалось одними только свободными зарядами.

Есть хороший пример для развеивания подобных заблуждений: диэлектрический шар в однородном внешнем поле.

[rustot]

Если в какой то области поле везде сонаправлено, но меняется по модулю, то это самый наглядный пример ненулевой дивeргенции (если модуль меняется при смещении вдоль направления поля) и/или ротора (если меняется при смещении в других направлениях) который только можно придумать. На мой взгляд это более правильная демонстрация понятия ротора чем "колечки". На одних гранях диэлектрика ярко выраженная дивергенция $D$, на других столь же ярко выраженный ротор.

[DimaM]

rustot в сообщении #921468 писал(а):

На одних гранях диэлектрика ярко выраженная дивергенция $D$, на других столь же ярко выраженный ротор.

А где в плоском конденсаторе дивергенция?

[rustot]

DimaM в сообщении #921510 писал(а):

А где в плоском конденсаторе дивергенция?

хотя да, на горизонтальных гранях дивергенция E, а не D

[DimaM]

rustot в сообщении #921512 писал(а):

на горизонтальных гранях дивергенция E, а не D

Дивергенция $D$ на свободных зарядах ведь только.

[tech]

DimaM в сообщении #921441 писал(а):

диэлектрический шар в однородном внешнем поле.

Раз уж речь зашла о шаре во внешнем поле, то хотел бы задать один вопрос на эту тему.
Была одна такая задача:
Найти плотность заряда на поверхности проводящего шара радиуса $R$ (суммарный заряд нулевой), помещенного в однородное электрическое поле $\textbf{E}_0$.

(Оффтоп)

Преподаватель решил задачу следующим образом:
$O$ – центр шара. Уберём шар, а в точку $O$ поместим диполь с моментом $\textbf{p}$. Поле данной системы:

$$\textbf{E}=\frac{3(\textbf{p},{\textbf{r}})\textbf{r}-\textbf{p}r^2}{r^5}+\textbf{E}_0$$

Приравниваем тангенциальную составляющую на сферической поверхности к нулю: $E_0\sin{\theta}-p/R^3=0$.
Отсюда находим $p=E_0 R^3$.
А нормальная составляющая должна быть равна $4\pi \sigma$.

$$4\pi \sigma=E_0 \cos{\theta}+\frac{3pR^2\cos{\theta}}{R^5}-\frac{p\cos{\theta}}{R^3}\Rightarrow \sigma=\frac{3E_0}{4\pi}\cos{\theta}$$

Мы, по-видимому, ищем такой диполь, чтобы поле диполя $+$ $\textbf{E}_0$ на границе сферы было таким же, как поле шара $+$ $\textbf{E}_0$ на границе. Ну, ладно.

Но можем ли быть уверены, что поле системы "диполь+внешнее поле" вне сферы радиуса $R$ будет таким же, как поле исходной системы?
И вообще, надо ли нам, чтобы это выполнялось?

Я плохо понимаю, что именно я не понимаю в решении, но каким-то странным оно мне кажется.

[rustot]

Он как то с середины начал объяснять. насколько я помню, это следует из трюка с представлением незаряженного шара в виде двух совмещенных шаров, равномерно (по объему) заряженных разным знаком.

Для каждого из таких шаров поле радиально и нарастает линейно с удалением от центра, то есть
|E| = k r$, $E_x = |E| \frac{x}{r} = k x$, $E_y = k y$, $E_z = k z$

Поэтому если теперь один из шаров сдвинуть на $dx$, то во всей области их пересечения образуется суммарное однородное поле $|E| = k dx$ вдоль $x$. Уменьшая $dx$ и увеличивая $k$ мы сохраняем эту величину нужной нам и при этом делаем область ненулевой суммарной плотности заряда бесконечно тонкой. таким образом получаем требующийся нам шар, с однородным полем внутри и распределением заряда только по поверхности.

Для поля вне шара (у поверхности), поле двух смещенных шаров не отличается от поля так же смещенных точечных зарядов, отсюда и диполь.

Скорее всего такую задачу про два шара преподаватель вам давал до этой задачи, а вы не уловили связь между ними.

[tech]

rustot в сообщении #922308 писал(а):

Скорее всего такую задачу про два шара преподаватель вам давал до этой задачи, а вы не уловили связь между ними.

В том-то и дело, что нет. Даже прозвучало что-то вроде: "Решение этой задачи методом смещения двух шаров друг относительно друга кажется мне неестественным, поэтому...". А дальше последовало то решение.

Большое спасибо за подробное описание, в частности вот за этот переход (в книгах я его не видел, и мне решение задачи таким методом тоже казалось неестественным):

rustot в сообщении #922308 писал(а):

Уменьшая $dx$ и увеличивая $k$ мы сохраняем эту величину нужной нам и при этом делаем область ненулевой суммарной плотности заряда бесконечно тонкой

[DimaM]

tech в сообщении #922305 писал(а):

Но можем ли быть уверены, что поле системы "диполь+внешнее поле" вне сферы радиуса $R$ будет таким же, как поле исходной системы?

Можем. Если на границах решения совпадают, то и во всем пространстве будут совпадать.

tech в сообщении #922305 писал(а):

И вообще, надо ли нам, чтобы это выполнялось?

Надо, чтобы поверхность шара была эквипотенциалью - это эквивалентно равенству нулю тангенциального поля. Возможно, через постоянство потенциала будет понятнее.