2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неравенство
Сообщение22.10.2014, 10:50 
Аватара пользователя
Что-то я туплю с неравенством:
$$
\frac{3}{2}(x^4 + y^4 + z^4) \geq 4x^2y + 4y^2z + 4z^2x - 24
$$
Как это красиво показать?

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение22.10.2014, 15:31 
Надо уточнить область определения.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение22.10.2014, 16:23 
Аватара пользователя
Для всех вещественных параметров

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение22.10.2014, 16:24 
Перенести всё в одну сторону, $f(x,y,z)\geqslant 0$.
Найти минимум функции.
Показать что минимум $ \min f(x,y,z) \geqslant 0$.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение22.10.2014, 16:38 
Для $x+y+z=1$ задача, возможно, решабельна. Надо перейти к уравнению четвёртой степени от двух переменных. Затем записать условие отсутствия действительных корней. Получится уравнение от одной переменной (не проверяла насколько страшное). Если неравенство верное, то всё должно сойтись. Но это будет не вся область.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение22.10.2014, 16:43 
Аватара пользователя
Условие именно в оригинальном варианте, я понятия не имею, что тут делать

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение22.10.2014, 16:52 
ktoto в сообщении #921919 писал(а):
Перенести всё в одну сторону, $f(x,y,z)\geqslant 0$.
Найти минимум функции.
Показать что минимум $ \min f(x,y,z) \geqslant 0$.

(Оффтоп)

В 50-60 годах неравнодушные граждане (не математики) любили доказывать большую теорему Ферма.
Матфаки ВУЗов были временами завалены доказательствами, причем по российско-советской традиции на доказательствах иногда стояла виза какого-нить горсовета "рассмотреть".

К главному, на одну из кафедр мехмата в те благословенные времена приходит телеграмма: "Доказал теорему Фема, основная идея - перенос $z^n$ в левую часть. Подробности письмом"

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение22.10.2014, 17:38 
Можно считать $x$, $y$, $z$ неотрицательными и затем воспользоваться перестановочным неравенством, чтобы оценить сверху $x^2y+y^2z+z^2x$.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение22.10.2014, 17:40 
Аватара пользователя
Тут надо подождать, пока придёт кто-нибудь из специалистов по неравенствам, и расколет его одним движением брови.
Правильный подход состоит в том, чтобы представить разность в виде суммы нескольких квадратов, или же в многократном применении неравенства AM-GM, но это дольше.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение22.10.2014, 17:57 
Я имел в виду предварительно доказать неравенство $x^2y+y^2z+z^2x \leqslant x^3+y^3+z^3$, а дальше будет просто.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение22.10.2014, 19:53 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #921952 писал(а):
Правильный подход состоит в том, чтобы представить разность в виде суммы нескольких квадратов
Кое-кого за смертью посылать, как говорится.
Раскроем все скобки в сугубо положительном выражении $\sum\limits_{cyc}\left(2(x^2-2y)^2+(x^2-4)^2\right)$

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение22.10.2014, 20:23 
Аватара пользователя
ИСН
А Зет как же

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение22.10.2014, 20:26 
Аватара пользователя
$cyc$

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение22.10.2014, 22:36 
Аватара пользователя
ИСН
Точно, спасибо!
nnosipov
Спасибо, интересно!

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group