Неравенство

[SpBTimes]

Что-то я туплю с неравенством:

$$ \frac{3}{2}(x^4 + y^4 + z^4) \geq 4x^2y + 4y^2z + 4z^2x - 24 $$

Как это красиво показать?

[TR63]

Надо уточнить область определения.

[SpBTimes]

Для всех вещественных параметров

[ktoto]

Перенести всё в одну сторону, $f(x,y,z)\geqslant 0$.
Найти минимум функции.
Показать что минимум $ \min f(x,y,z) \geqslant 0$.

[TR63]

Для $x+y+z=1$ задача, возможно, решабельна. Надо перейти к уравнению четвёртой степени от двух переменных. Затем записать условие отсутствия действительных корней. Получится уравнение от одной переменной (не проверяла насколько страшное). Если неравенство верное, то всё должно сойтись. Но это будет не вся область.

[SpBTimes]

Условие именно в оригинальном варианте, я понятия не имею, что тут делать

[mihailm]

ktoto в сообщении #921919 писал(а):

Перенести всё в одну сторону, $f(x,y,z)\geqslant 0$.
Найти минимум функции.
Показать что минимум $ \min f(x,y,z) \geqslant 0$.

(Оффтоп)

В 50-60 годах неравнодушные граждане (не математики) любили доказывать большую теорему Ферма.
Матфаки ВУЗов были временами завалены доказательствами, причем по российско-советской традиции на доказательствах иногда стояла виза какого-нить горсовета "рассмотреть".

К главному, на одну из кафедр мехмата в те благословенные времена приходит телеграмма: "Доказал теорему Фема, основная идея - перенос $z^n$ в левую часть. Подробности письмом"

[nnosipov]

Можно считать $x$, $y$, $z$ неотрицательными и затем воспользоваться перестановочным неравенством, чтобы оценить сверху $x^2y+y^2z+z^2x$.

[ИСН]

Тут надо подождать, пока придёт кто-нибудь из специалистов по неравенствам, и расколет его одним движением брови.
Правильный подход состоит в том, чтобы представить разность в виде суммы нескольких квадратов, или же в многократном применении неравенства AM-GM, но это дольше.

[nnosipov]

Я имел в виду предварительно доказать неравенство $x^2y+y^2z+z^2x \leqslant x^3+y^3+z^3$, а дальше будет просто.

[ИСН]

ИСН в сообщении #921952 писал(а):

Правильный подход состоит в том, чтобы представить разность в виде суммы нескольких квадратов

Кое-кого за смертью посылать, как говорится.
Раскроем все скобки в сугубо положительном выражении $\sum\limits_{cyc}\left(2(x^2-2y)^2+(x^2-4)^2\right)$

[SpBTimes]

ИСН
А Зет как же

[ИСН]

$cyc$

[SpBTimes]

ИСН
Точно, спасибо!
nnosipov
Спасибо, интересно!