Элементарная геометрия 3

[Phaenomenon]

Большое спасибо, что не оставляете мою тему без внимания!

gris в сообщении #921215 писал(а):

А что это за точка $M$?

Это одна из точек, в которой окружность пересекает прямую (по совместительству еще и медиана, которую надо доказать).

gris в сообщении #921215 писал(а):

Если бы требовалась прямая $BC$, то он был бы безусловно прав, но хитроумный ТС задал искать пересечение с прямой $AB$

Если честно, я вообще не до конца понимаю логики этого хода. Далее нам бы пришлось все равно мучиться с дорисовыванием.
Походу, надо сделать вывод, что непосредственно задачу решить невозможно

[gris]

Вот в этом и преимущество метода координат. Ведь по чертежу трудно понять — существует ли точка $M$ или же окружность вовсе и не пересекает прямую. А в методе координат это получается при решении системы.

[Phaenomenon]

gris в сообщении #921222 писал(а):

Вот в этом и преимущество метода координат. Ведь по чертежу трудно понять — существует ли точка $M$ или же окружность вовсе и не пересекает прямую. А в методе координат это получается при решении системы.

Есть такие моменты, где метод координат полного ответа нам не даст? То есть, для всякой ли геометрической задачи такой метод применим? Есть ли исключения? Есть ли необходимые условия?

[gris]

Метод координат хорошо работает, когда точно заданы фигуры в задаче. То есть можно указать координаты всех задействованных точек. Задачи на доказательство проще бывает решать логически, хотя любители линейной алгебры и тут ухитряются задавать переменные координаты и анализировать многочисленные случаи. В общем, каждому методу есть своя область применения. И бывает проще использовать какую-то теорему, свойство, признак, чем мучиться с огромными системами линейных уравнений. Но это всё извечные методические вопросы. В школе чаще всего надо решать задачи тем методом, какой проходится, ибо цель решения — не ответ, а изучение метода. А на практике можно решать любым методом.

[Phaenomenon]

gris, понял Вас! К счастью, цель решения у меня одна: решить верно и быстро.

[gris]

Ну когда сверяться будем?
У меня получилось два ответа: полгипотенузы и ещё что-то, тапа $36/5$. Кстати, похоже на высоту.
Уравнение на координаты такое: $x^2+y^2-4.5x-6y=0; 4x+3y=36$
Каюсь, сам решать не стал.
Ну а у Вас какие там построения получились?

[Phaenomenon]

gris, удивительно, но Ваши ответы совпадают с представленными ответами. Однако я не до конца разобрался в этом методе. Прочитал кучу теории, решил некоторые наводящие задачи, но все равно не могу применить этот метод там, где он не предполагается.

С самого начала. Я ввожу систему координат с началом в точке $C (0;0)$. Соответственно, координаты $ B(12;0)$ и $A(9;0)$. Допустим, $\overrightarrow{AC} =\mathbf{a} , \overrightarrow{BC} = \mathbf{b} , \overrightarrow{AB} = \mathbf{c}$. Соответственно длины этих векторов нам тоже даны. Единственное, что я вижу это теорема Стюарта. Вопрос только вдругом: необходима ли она здесь? Ведь я так понимаю, нам надо выйти на уравнение прямой $\overrightarrow{CM}$ и $\overrightarrow{CN}$.

Еще могу дополнить, что есть координаты точки $D(4;0)$, благодаря которой я могу выйти на длину $\left| \overrightarrow{AD} \right| = 5$

[gris]

На самом деле достаточно увидеть координаты точки $O$, чтобы всё понять. Ну или через подобие или ещё как показать пропорциональность $1:4$. Вот вам и медиана-диаметр и тут же высота. Ну так Вы же писали, что сами всё сразу увидели на чертеже А уравнений прямых, кроме $AB$, нам и не нужно. Достаточно координат точек пересечения этой прямой с окружностью.
Вообще, я всё это говорю к тому, что в данном случае параметры задачи таковы, что решение по любому получается просто. А вот если изменить положение точки $O$, то без метода координат не обойтись. Изучайте же его!

[Батороев]

gris в сообщении #921215 писал(а):

Мне кажется, что уважаемый Батороев не обратил должного вниманияна то, какую прямую хотела пересечь окружность. Если бы требовалась прямая $BC$, то он был бы безусловно прав, но хитроумный ТС задал искать пересечение с прямой $AB$

Вы, как всегда, оказались правы.
Вместе с тем, ранее полученное мной значение величины хорды окружности по катету $BC$ позволяет определить, что заданная окружность имеет радиус в два раза меньший, чем радиус окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$. Далее не сложно доказывается, что заданные расстояния соответствуют медиане и высоте, проведенным из вершины $C$.

[gris]

Автор вознамерился найти как самое короткое и изящное, так и самое длинное и громоздкое решение этой задачи. А по мне она очень мила, и из неё прорастают многочисленные побеги в важнейшие области планиметрии. Подробный разбор задачи годился бы для занятия математического кружка. Да и любитель математики может с интересом поковыряться в ней.

[Phaenomenon]

gris в сообщении #921460 писал(а):

Автор вознамерился найти как самое короткое и изящное, так и самое длинное и громоздкое решение этой задачи.

Одно уже нашли. Остается разобратся с изящным
Я понял, что точка O совсем не обязана быть точкой пересечения $AD$ и $CM$. Выходит не очень честно.
В целом, для задачи это не так существенно.
В продолжении своей попытки решения задачи, я еще нашел, что $OA = 3,75$ и $OD = 1, 25$. Попытался найти отсюда точку O , каковая задается уравнением окружности, что вполне очевидно. К сожалению, отсюда вычленить координаты O не получится. Дальше я нашел уравнение прямой $AB : y=12-1.5x$. Как выйти теперь на точки $M$ и $N$?

[Phaenomenon]

А, нет, все я могу! Сейчас все покажу.

[gris]

Далась Вам эта точка $M$. Ориентируесь на $O$ и покажите хоть Чевой (?) или кучей пропорций, что она — середина медианы. Хоть это и муторней, чем уравнение решить, зато сразу даёт ответ. А точка $M$ сама появится. И вторая тоже.

[Phaenomenon]

gris в сообщении #921517 писал(а):

Далась Вам эта точка $M$. Ориентируесь на $O$ и покажите хоть Чевой (?) или кучей пропорций, что она — середина медианы. Хоть это и муторней, чем уравнение решить, зато сразу даёт ответ. А точка $M$ сама появится. И вторая тоже.

Понял Вас, сейчас постараюсь все собрать воедино. Только есть небольшие загвоздки. Прежде чем доказывать, что $O$ середина медианы, мы должна доказать, что $CM$ -- это и есть медиана (ведь по рисунку это не очевидно). Можно ли аналитически доказать, что $CM$ это медиана, а $CN$ -- высота?
Теорема Чевы, кстати, здесь не применима, поскольку рассматриваются две чевианы (да и даже если бы мы провели из вершины $В$ чевиану $BH$, то этим бы не доказали далее, что $CM$ медиана)

[gris]

Можно определить точку $M$ как продолжение отрезка $CO$ на такое же расстояние за точку $O$. То есть $CM$ это диаметр окружности. Ну а теперь рассмотрим проекции точки $O$ на катеты. Можно перпендикуляры опустить и увидеть, что проекции соответствующих отрезков равны четвертушкам от катетов. А тогда проекции $CM$ будут равны половинкам катетов. Отсюда следует, что $M$ является серединой гипотенузы, то есть первая точка пересечения. Ну потом надо сказать, что гипотенуза не является касательной, так как <...>, то есть есть и вторая точка. В общем, озвучить построже то, что Вы и так уже сказали и написали. Просто в координатах это выглядит значительно проще.