Численное решение системы дифференциальлных уравнений

[Sergey Malashenko]

Добрый день. Есть следующая система уранений, описывающая распространение электромагнитных волн в плазме.
$ \begin{cases} \frac{d^2A}{d z^2}+{\Delta}_\perp A - \frac{1}{c^2}\frac{d^2A}{d t^2} =\frac{4\pi}{c}j_\perp, \\ \frac{d n}{d t}+\frac{d}{d z}\frac{np}{\sqrt{1+p^2+|A|^2}}=0, \\ \frac{dp}{dt}=\frac{d}{dz}(\varphi-\sqrt{1+p^2+|A|^2}), \\ \frac{d^2\varphi}{d^2z} = \beta(n - n_0), \\ j_\perp=\frac{nA}{\sqrt{1+p^2+|A|^2}} \end{cases} $

Я хочу решить данную систему явным методом. Производную по времени я аппроксимирую методом Рунге-Кутта ввиду нелинейности системы. Собственно вопрос по второму и третьему уравнению. Как можно аппроксимировать производную по пространству?

[Pphantom]

Очевидно, как конечную разность. Какую - зависит от выбранной схемы.

Но, насчет Рунге-Кутты... Вы уверены, что это система обыкновенных дифференциальных уравнений?

[Sergey Malashenko]

Первое уравнение можно преобразовать: ввести функцию $W=\frac{\partial A}{\partial t}$ . Тогда результирующая система может быть решена методом Рунге-Кутта.

По поводу конечных разностей мне нужно больше кокретики. Решение предполагает наличие ударных волн и поэтому я не хочу использовать схемы с большой аппроксимационой вязкостью

[мат-ламер]

Sergey Malashenko в сообщении #921171 писал(а):

Я хочу решить данную систему явным методом. Производную по времени я аппроксимирую методом Рунге-Кутта ввиду нелинейности системы

Мне кажется, что при этом для обеспечения устойчивости получится слишком малый шаг по времени.

[Sergey Malashenko]

Доброй ночи. Уравнение для электрического потенциала (Задача Неймана) можно решить, используя косинус-преобразование Фурье. Уравнение для концентрации $n$ тоже можно решить, используя пребразование Фурье также.

Какие особеннсти возникают при решении дифференциальных уравнений спектральными методами?