Указать дифф. уравнение по ФСР

[SlayZar]

Известно, что функции $y_1,...,y_n \in C^n[a,b]$ образуют фундаментальную систему решений (ФСР) некоторого линейного однородного дифференциального уравнения $n$-го порядка со старшим коэффициентом $a_0(x)=1$. Указать это уравнение.

Имеем уравнение $y^\((n)$$ +a_1y^\((n-1)$$ + ... + a_\(n-1\)y' + a_ny=0$

Тогда общее решение можно записать в виде $y(x)=C_1y_1+C_2y_2+...+C_ny_n$

Впринципе, чтобы решить уравнение нам надо записать характеристическое уравнение $\lambda^n +a_1\lambda^\(n-1$$ + ... + a_\(n-1\)\lambda + a_n\lamnda=0$ и найти его корни, но в данном случае нам надо найти само уравнение.

Возможно, стоит пользоваться тем, что определитель $\qquad\begin{vmatrix} y_1 & \cdots & y_n & y\\ y_1' & \cdots & y_n' & y'\\ y_1'' & \cdots & y_n'' & y''\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ y_1^\((n) & \cdots & y_n^\((n) & y^\((n)\\ \end{vmatrix}$ = 0
Но что тогда делать дальше? Помогите пожалуйста.

[Ms-dos4]

Характеристическое уравнение вообще ни при чём, коэффициенты зависят от $\[x\]$. Вы верно подметили, что можно воспользоваться равенством нулю определителя Вронского. Вот и раскройте его по последнему столбцу.

[SlayZar]

Раскладываем по последней строке. Получаем
$y\begin{vmatrix} y_1' & \cdots & y_n'\\ y_1'' & \cdots & y_n''\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ y_1^\((n) & \cdots & y_n^\((n)\\ \end{vmatrix} - y' \begin{vmatrix} y_1 & \cdots & y_n\\ y_1'' & \cdots & y_n''\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ y_1^\((n) & \cdots & y_n^\((n)\\ \end{vmatrix} +... + (-1)^ny_n^\((n)\) \begin{vmatrix} y_1 & \cdots & y_n\\ y_1' & \cdots & y_n'\\ y_1'' & \cdots & y_n''\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ y_1^\((n-1) & \cdots & y_n^\((n-1)\\ \end{vmatrix}=0 $
Теперь нам наверное надо использовать, что по условию
$\begin{vmatrix} y_1 & \cdots & y_n\\ y_1' & \cdots & y_n'\\ y_1'' & \cdots & y_n''\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ y_1^\((n-1) & \cdots & y_n^\((n-1)\\ \end{vmatrix} = (-1)^n$, так как старший коэффициент равен единице. Но вот, как-то использовать этот факт все равно не получается...

[SpBTimes]

Продифференцируйте ваше равенство достаточное количество раз и исключите константы, там как раз поможет определитель Вронского

[Ms-dos4]

Зачем дифференцировать то? Уравнение уже получено (SlayZar у вас в последнем слагаемом опечатка, нижнего индекса n нет, и раскладывали вы всё таки по последнему столбцу а не по строке). Коэффициент перед старшей производной и есть Вронскиан ФСР. Разделить на это добро и всё.

[SlayZar]

Ms-dos4 в сообщении #921052 писал(а):

Зачем дифференцировать то? Уравнение уже получено (SlayZar у вас в последнем слагаемом опечатка, нижнего индекса n нет, и раскладывали вы всё таки по последнему столбцу а не по строке). Коэффициент перед старшей производной и есть Вронскиан ФСР. Разделить на это добро и всё.

Да, действительно перепутал.
Вот разложил по последней строке:
$y_1^\((n)\)\begin{vmatrix} y_2 & y_3 &\cdots & y_n\\ y_2' & y_3' &\cdots & y_n'\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ y_2^\((n-1) & y_3^\((n-1) &\cdots & y_n^\((n-1)\\ \end{vmatrix} - y_2^\((n)\) \begin{vmatrix} y_1 & y_3 &\cdots & y_n\\ y_1' & y_3'&\cdots & y_n''\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ y_1^\((n-1) & y_3^\((n-1) & \cdots & y_n^\((n-1)\\ \end{vmatrix} + ... + (-1)^ny^\((n)\)\begin{vmatrix} y_1 & y_2 &\cdots & y_n\\ y_1' & y_2'&\cdots & y_n''\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ y_1^\((n-1) & y_2^\((n-1) & \cdots & y_n^\((n-1)\\ \end{vmatrix} =0 $

Коэффициент при старшем члене действительно Вронскиан, но если мы на него поделим, то старший коэффициент, конечно, будет равен единице, но все остальные коэффициенты станут отношениями этих больших определителей. Не могу понять что-то, как мы будем от них избавляться?

[Ms-dos4]

SlayZar
Да при чём тут строка. Говорю же последний СТОЛБЕЦ. Раскладывайте по СТОЛБЦУ где $\[y...{y^{(n)}}\]$. У вас тогда было написано верное разложение по столбцу, за исключением того, что вы зачем то вместо $\[{y^{(n)}}\]$ написали $\[y_n^{(n)}\]$
P.S.И да, там будут отношения определителей.

[SlayZar]

Да, ступил что-то.
Разложил по столбцу:
$y\begin{vmatrix} y_1' & \cdots & y_n'\\ y_1'' & \cdots & y_n''\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ y_1^\((n) & \cdots & y_n^\((n)\\ \end{vmatrix} - y' \begin{vmatrix} y_1 & \cdots & y_n\\ y_1'' & \cdots & y_n''\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ y_1^\((n) & \cdots & y_n^\((n)\\ \end{vmatrix} +... + (-1)^ny^\((n)\) \begin{vmatrix} y_1 & \cdots & y_n\\ y_1' & \cdots & y_n'\\ y_1'' & \cdots & y_n''\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ y_1^\((n-1) & \cdots & y_n^\((n-1)\\ \end{vmatrix}=0 $

делим на Вронскиан и получаем

$y^\((n)\) + ... -y' $$\frac{\begin{vmatrix} y_1 & \cdots & y_n\\ y_1'' & \cdots & y_n''\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ y_1^\((n) & \cdots & y_n^\((n)\\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} y_1 & \cdots & y_n\\ y_1' & \cdots & y_n'\\ y_1'' & \cdots & y_n''\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ y_1^\((n-1) & \cdots & y_n^\((n-1)\\ \end{vmatrix}} + y \frac{\begin{vmatrix} y_1' & \cdots & y_n'\\ y_1'' & \cdots & y_n''\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ y_1^\((n) & \cdots & y_n^\((n)\\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} y_1 & \cdots & y_n\\ y_1' & \cdots & y_n'\\ y_1'' & \cdots & y_n''\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ y_1^\((n-1) & \cdots & y_n^\((n-1)\\ \end{vmatrix}}=0$

Это и будет ответом?

[Ms-dos4]

SlayZar
Вы ж ещё на $\[{( - 1)^n}\]$ делили. А так да, в принципе это есть ответ(но я прям не всматривался в определители). Можете даже проверить, вот вам ФСР ОЛДУ второго порядка $\[{y_1} = {x^{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}}\]$ и $\[{y_2} = {x^{\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}}}\]$. Восстановите ДУ

[SlayZar]

Ms-dos4 в сообщении #921087 писал(а):

SlayZar
Вы ж ещё на $\[{( - 1)^n}\]$ делили. А так да, в принципе это есть ответ(но я прям не всматривался в определители).

Да, про $(-1)^n$ забыл. Получаем тогда такое вот уравнение
$y^\((n)\) + ... + (-1)^\(n+1\)y' $$\frac{\begin{vmatrix} y_1 & \cdots & y_n\\ y_1'' & \cdots & y_n''\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ y_1^\((n) & \cdots & y_n^\((n)\\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} y_1 & \cdots & y_n\\ y_1' & \cdots & y_n'\\ y_1'' & \cdots & y_n''\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ y_1^\((n-1) & \cdots & y_n^\((n-1)\\ \end{vmatrix}} + (-1)^ny \frac{\begin{vmatrix} y_1' & \cdots & y_n'\\ y_1'' & \cdots & y_n''\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ y_1^\((n) & \cdots & y_n^\((n)\\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} y_1 & \cdots & y_n\\ y_1' & \cdots & y_n'\\ y_1'' & \cdots & y_n''\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ y_1^\((n-1) & \cdots & y_n^\((n-1)\\ \end{vmatrix}}=0$

Ms-dos4 в сообщении #921087 писал(а):

SlayZar
Можете даже проверить, вот вам ФСР ОЛДУ второго порядка $\[{y_1} = {x^{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}}\]$ и $\[{y_2} = {x^{\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}}}\]$. Восстановите ДУ

И так, получаем $y''-y'\frac{{\begin{vmatrix} x^{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} & x^{\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}}\\ x^{\frac{{\sqrt 5-3 }}{2}} & x^{\frac{{-\sqrt 5-3 }}{2}}\\ \end{vmatrix}}}{{\begin{vmatrix} x^{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} & x^{\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}}\\ \frac{1+\sqrt{5}}{2}x^{\frac{{\sqrt 5-1 }}{2}} & \frac{1-\sqrt{5}}{2}x^{\frac{{-\sqrt 5-1 }}{2}}\\ \end{vmatrix}}} + y\frac{{\begin{vmatrix} \frac{1+\sqrt{5}}{2}x^{\frac{{\sqrt 5-1 }}{2}} & \frac{1-\sqrt{5}}{2}x^{\frac{{-\sqrt 5-1 }}{2}}\\ x^{\frac{{\sqrt 5-3 }}{2}} & x^{\frac{{-\sqrt 5-3 }}{2}}\\ \end{vmatrix}}}{{\begin{vmatrix} x^{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} & x^{\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}}\\ \frac{1+\sqrt{5}}{2}x^{\frac{{\sqrt 5-1 }}{2}} & \frac{1-\sqrt{5}}{2}x^{\frac{{-\sqrt 5-1 }}{2}}\\ \end{vmatrix}}} = $
$= y''-0*y'+\frac{\frac{\sqrt5}{x^2}}{-\sqrt 5}y = y''-\frac{1}{x^2}y$

Получили уравнение $y''-\frac{1}{x^2}y = 0$. Проверил по Вольфраму, действительно, его ФСР будет данные вами значения, но все же решать подобным способом уравнения - не самое приятное занятие))

Спасибо за помощь)