Степенные ряды

[Enot2]

Требуется разложить в степенной ряд: $-\ln(1+x) \cdot \ln(1-x)$. Раскладываю: $\ln(1+x)=x+\sum _{n=1}^\infty \frac{(-1)^nx^{n+1}}{n+1}, -\ln(1-x)=x+\sum _{n=1}^\infty \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Далее, по правилу Коши: $\sum _{k=0}^n \frac{(-1)^kx^{n+2}}{(k+1)(n-k+1)}$. Однако в ответе не такой результат. Подскажите, где ошибся

[Otta]

Ну, то есть это общий член. Вроде правильно. А в ответе что?

[Enot2]

У меня получается, что для каждого $n$ предыдущие степени исчезают. А в ответе сумма четных степеней икса идет. У меня же получается какой-то странный результат: $-\ln(1+x) \cdot \ln(1-x) = \sum _{k=0}^n \frac{(-1)^kx^{n+2}}{(k+1)(n-k+1)}$, что при стремлении $n \to \infty $ дает бесконечность

[Otta]

Enot2 в сообщении #920909 писал(а):

У меня получается, что для каждого $n$ предыдущие степени исчезают.

Куда они исчезают? По этой записи:

Enot2 в сообщении #920909 писал(а):

У меня же получается какой-то странный результат: $-\ln(1+x) \cdot \ln(1-x) = \sum _{k=0}^n \frac{(-1)^kx^{n+2}}{(k+1)(n-k+1)}$,

у меня складывается впечатление, что Вы не вполне понимаете, как пользоваться формулой для произведения рядов.

Enot2 в сообщении #920909 писал(а):

А в ответе сумма четных степеней икса идет.

И это естественно.

Напишите-ка поподробнее, как ряды перемножать, можно в общем случае.

[ewert]

Enot2 в сообщении #920901 писал(а):

$\sum _{k=0}^n \frac{(-1)^kx^{n+2}}{(k+1)(n-k+1)}$. Однако в ответе не такой результат.

А в ответе он наверняка просто свёрнут. Совсем свернуть его, правда, нельзя, но можно заметно упростить (в частности, останутся только чётные степени). Разложите дробь на простейшие.

[Otta]

ewert в сообщении #920918 писал(а):

Разложите дробь на простейшие.

Незачем. С одной стороны, сумма "кососимметрична" )) - меняет знак при перенумерации в обратном порядке, с другой - что интереснее - функция четна.

[ewert]

Otta в сообщении #920922 писал(а):

Незачем.

Ничего себе. Уменьшать формулу в два раза -- незачем?...

[Otta]

ewert
))) Раскладывать на простейшие незачем ).

[Enot2]

Otta в сообщении #920913 писал(а):

у меня складывается впечатление, что Вы не вполне понимаете, как пользоваться формулой для произведения рядов.

Да, перечитал, понял, что я это n-ый член суммы.
ewert
Привожу к простейшим, получаю уравнение: $nA+k(B-A)+A+B=1 \Rightarrow B=A \Rightarrow A=\frac{1}{n+2}$.
Получаем: $\frac{x^{n+2}}{n+2}\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}+\frac{(-1)^k}{n-k+1}$
Это еще как-то можно успростить

[Otta]

Ну так что ж Вы стесняетесь. Выпишите первую сумму как есть, всю подряд, от первого слагаемого до последнего. С учетом знака. Выпишите вторую точно так же. Сравните.

При четных $n$ получится нечто (и оно получалось спокойно без этого разложения на простейшие тем же способом), при нечетных - нечто совсем другое... тут, собственно, и пригодится это разложение. Надо что-нибудь делать, что-нибудь да получится.

[Enot2]

Да я то выписал, при четных: $\frac{2x^{n+2}}{n+2}\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}$, при нечетных ноль. Но не так уж это очевидно