Найти сумму ряда

[Dmitry Tkachenko]

Найти сумму ряда

$$\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)}.$$

Не знаю почему, но тему переместили в карантин. Я умею такое решать. Просто интересуют разные подходы.

Я решал так:

$$\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty} \bigg( \dfrac{1}{3k+1}-\dfrac{2}{3k+2} \bigg)+\frac{1}{6} \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k+1}.$$

$$\sum_{k=0}^{\infty} \bigg( \dfrac{1}{3k+1}-\dfrac{2}{3k+2} \bigg)=\sum_{k=0}^{\infty} \int\limits_0^1 (x^{3k}-2x^{3k+1})\, dx=\int\limits_0^1 \sum_{k=0}^{\infty}(x^{3k}-2x^{3k+1})\, dx = \int\limits_0^1 \frac{1-2x}{1-x^3}\, dx.$$

В общем, в таком духе. Ответ получился $\dfrac{\pi \sqrt3}{12}-\dfrac{1}{4}\ln3.$

[maxal]

Найдите замкнутое выражение для $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{x^{3k+3}}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)},$ решив дифференциальное уравнение $f'''(x)=\frac{1}{1-x^3}$, и вычислите $f(1)$.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Тема не соответствует разделу. Приведите попытки решения и укажите конкретные затруднения при необходимости дальнейшего обсуждения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Someone]

Dmitry Tkachenko в сообщении #919904 писал(а):

$$\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty} \bigg( \dfrac{1}{3k+1}-\dfrac{2}{3k+2} \bigg)+\frac{1}{6} \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k+1}.$$

Оба ряда в правой части расходятся.

Dmitry Tkachenko в сообщении #919904 писал(а):

$$\sum_{k=0}^{\infty} \bigg( \dfrac{1}{3k+1}-\dfrac{2}{3k+2} \bigg)=\sum_{k=0}^{\infty} \int\limits_0^1 (x^{3k}-2x^{3k+1})\, dx=\int\limits_0^1 \sum_{k=0}^{\infty}(x^{3k}-2x^{3k+1})\, dx = \int\limits_0^1 \frac{1-2x}{1-x^3}\, dx.$$

Последний интеграл тоже расходится.

[Dmitry Tkachenko]

Someone, да, прошу прощения, там нельзя было скобки расставлять.

В общем надо всё это под одну скобку и интеграл один посчитать от всей этой штуки.

maxal, интересно, спасибо! В обоих способах считать интегралы не хочется, но, похоже, другого нет.

[ewert]

Dmitry Tkachenko в сообщении #921122 писал(а):

В обоих способах считать интегралы не хочется, но, похоже, другого нет.

Нужно совсем не эти интегралы считать. Там ведь не просто дифференциальное уравнение $f'''(x)=\frac1{1-x^3}$, а ещё и нулевые начальные условия. Поэтому решением будет $f(x)=\int\limits_0^xdy\int\limits_0^ydz\int\limits_0^zdt\cdot\frac1{1-t^3}$. Такой тройной интеграл стандартно сворачивается в однократный, который после подстановки в него $x=1$ станет совсем простеньким.

[EtCetera]

См. тему «Ряд». К сожалению, вместо наиболее общих формул, выведенных участником Александр Т., сейчас отображается надпись Hack attempt! (в связи с использованием команды \operatorname, если я правильно помню). Но их код все еще можно посмотреть, нажав кнопку Цитата внизу интересующего Вас сообщения.

[Dmitry Tkachenko]

ewert, я не понимаю, что Вы имеете в виду под "стандартно сворачивается". Там же при первом интегрировании уже логарифмы появляются.

$$\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty} \bigg( \dfrac{1}{3k+1}-\dfrac{2}{3k+2} +\dfrac{1}{3k+3}\bigg).$$

$$\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty} \bigg( \dfrac{1}{3k+1}-\dfrac{2}{3k+2} +\dfrac{1}{3k+3}\bigg)=\sum_{k=0}^{\infty} \int\limits_0^1 (x^{3k}-2x^{3k+1}+x^{3k+3})\, dx.$$

Тут нужно объяснить, почему можно поменять местами знак суммы и интеграла. И это единственная важная деталька.
Я таким способом решил.

[Dmitry Tkachenko]

У меня опечатка: там в нижней формуле последнее слагаемое $x^{3k+2}.$

maxal в сообщении #919908 писал(а):

решив дифференциальное уравнение $f'''(x)=\frac{1}{1-x^3}$

Объясните пожалуйста, как это делать. Ведь, если интегрировать, уже после первого раза логарифмы появляются, а дальше?

[ewert]

Рассмотрите для начала $f(x)=\int\limits_0^xdz\int\limits_0^zdt\cdot\frac1{1-t^3}$ и поменяйте порядок интегрирования.

[Dmitry Tkachenko]

ewert, понял, но все эти переходы мы делаем для $[0,1),$ потом можно перейти к пределу при $x \to 1,$ хотя там сокращается $1-x.$

[ewert]

Dmitry Tkachenko в сообщении #923215 писал(а):

хотя там сокращается $1-x.$

Вот именно что сокращается. И чего ещё желать?

[Dmitry Tkachenko]

ewert, да, Вы правы. Спасибо.