2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Хитрая задачка о монетке (теор. вер.)
Сообщение20.12.2007, 13:30 


20/12/07
8
Уважаемые участники форума подскажите пожалуйста путь решения такой задачи:
"Монета бросается до тех пор,пока 2 раза подряд не выпадет одной и той
стороной.Найти вероятность того,что потребуется чётное число бросаний
монеты". Вторые сутки "бьюсь" над нею, но ничего толкового на ум не
приходит. :cry: Заранее благодарен!

 Профиль  
                  
 
 Re: Хитрая задачка о монетке (теор. вер.)
Сообщение20.12.2007, 13:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5495
Нов-ск
LinuXOR писал(а):
"Монета бросается до тех пор,пока 2 раза подряд не выпадет одной и той
стороной.Найти вероятность того,что потребуется чётное число бросаний
монеты".

Найдите вероятность того, что повтор наступит на втором броске, на четвертом, на шестом и т.д.
Суммируйте все эти вероятности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2007, 14:08 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Это типичная задача одного специального типа. Решаются они так. Обозначим через $p$ вероятность того, что два раза подряд монета выпадет одной стороной на четном бросании (обозначим это событие $A$), а через $q$ - на нечетном. Нужно уметь доказать, что $p+q=1$. Это дает одно уравнение на данные величины. Второе получим так. Воспользуемся формулой полной вероятности, разбив событие $A$ на четыре подсобытия по первым двум бросаниям монеты:
$P(A)=P(A|00)P(00)+P(A|01)P(01)+P(A|10)P(10)+P(A|11)P(11)$
Нужно осознать, что $P(A|00)=P(A|11)=1$, а $P(A|01)=P(A|10)=q$. Это дает второе уравнение
$p=\frac{1}{2}+q$.
Решая эту систему, можно найти $p$ и $q$.

Добавлено спустя 2 минуты 17 секунд:

Способ, который предложил TOTAL, в данном конкретном случае проще. Но способ через уравнения достаточно общий и с его помощью можно решать многие похожие задачи, когда напрямую найти вероятности через ряды не получится.

Добавлено спустя 2 минуты 50 секунд:

Только я, кажется, ошибся и должно быть $P(A|01)=P(A|10)=q/2$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2007, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5495
Нов-ск
До кучи (без суммы):
Обозначим P(n) - вероятность, что повтор случится на n-ом броске.
Тогда P(3)=P(2)/2, P(5)=P(4)/2, P(7)=P(6)/2, ...
Поэтому P(нечетном)=P(четном)/2

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2007, 15:37 


10/01/07
285
Санкт-Петербург
PAV
Красивая идея, но как найти вероятности $P(A/01)$?

Вот вариация на предложенную вами идею:
Обозначим, $p(e,0)$, $p(e,0)$, $p(o,1)$, $p(o,1)$ - вероятности того, что повторение случиться на четном броске, при условии, что уже брошено четное/нечетное ($e$/$o$) число монеток, повторение не произошло и на последнем броске выпал орел/решка ($0$/$1$). $q(e,0)$, $q(e,0)$, $q(o,1)$, $q(o,1)$ - тоже самое для вероятностей повторения на нечетном броске.
Соответственно, в задаче требуется найти число: $1/2p(o,0) + 1/2p(o,1)$.
Имеем следующие уравнения:
$p(o,0) + q(o,0) = 1$,
$p(o,1) + q(o,1) = 1$,
$p(e,0) + q(e,0) = 1$,
$p(e,1) + q(e,1) = 1$,
$p(o,0) = 1/2 + 1/2q(e,1)$,
$p(e,0) = 1/2q(o,1)$,
$p(o,1) = 1/2 + 1/2q(e,0)$,
$p(e,1) = 1/2q(o,0)$.
Итого 8 уравений и 8 неизвестных.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2007, 16:12 


20/12/07
8
Господа,благодарю всех вас за уделённое время и внимание к
моей проблеме. :D Будем пробовать! Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2007, 16:25 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Mikhail Sokolov писал(а):
PAV
Красивая идея, но как найти вероятности $P(A/01)$?


Смысл в том, что если $B$ - это появление пары на нечетном шаге (т.е. $P(B)=q$), то $P(A|01)=P(B|1)$. Из соображений симметрии понятно, что $P(B|1)=P(B|0)$ и из формулы полной вероятности получаем, что это равно $P(B)/2=q/2$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2007, 23:09 


10/01/07
285
Санкт-Петербург
Понял, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.12.2007, 16:58 


20/12/07
8
Ещё раз спасибо всем участникам и PAV за оригинальньй способ решения задачи.
Что с помощью суммирования вероятностей, что с помощью системы уравнений мы получаем
одну и ту же вероятность p =2/3,что лишний раз подтверждает правильность обоих подходов к решению задачи. Не такая уж она и сложная,как кажется на первый взгляд неподготовленому уму :wink:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group