Доказательство иррациональности

[Ktina]

Доказать, что

$$\cos \left( \frac{ \pi}{2^p3^q}\right)$$

, где $p$ и $q$ - простые числа, есть число иррациональное.

[nnosipov]

Как-то искусственно смотрится. Ведь верен более общий и хорошо известный факт, который несложно доказывается.

[Ktina]

nnosipov
Не догадываюсь, о каком Вы факте. У меня было основано на том, что согласно формулам двойного и тройного аргументов, если $\cos x$ рационально, то $\cos (2x)$ и $\cos (3x)$ также рациональны.

[nnosipov]

Ktina в сообщении #919820 писал(а):

Не догадываюсь, о каком Вы факте.

А это вот такое утверждение: если отношение $\phi/\pi$ рационально и $\cos{\phi}$ рационален, то $\cos{\phi} \in \{0,\pm 1/2,\pm 1\}$. Доказать это можно многими способами (сошлюсь на свою статью в "Математическом просвещении", вып. 17, 2013, стр. 182-191 http://www.mccme.ru/free-books/matpros/mph.pdf).

[Ktina]

nnosipov

(Оффтоп)

Спасибо за интересную статью.

[Terraniux]

Ktina
Через многочлены Чебышева же можно. Тогда все еще проще.