2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Элементарная геометрия 2
Сообщение15.10.2014, 19:02 
Доброго времени суток. Думаю, задача стоит вашего внимания. Хотелось бы с ней разобраться.

Периметр прямоугольного треугольника $\triangle ABC ( \angle C=90^{\circ}) = 72$ ,а разность между длинами медианы $CK$ и высоты $CM$ равна $7$ см. Найти длину гипотенузы.

ps:
кому необходим рисунок
Изображение

 
 
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение15.10.2014, 19:10 
Аватара пользователя
Простая система уравнений с 2 неизвестными, ничего особенного. Стороны за $x,y$, а потом по известным всем формулам выписываем объявленные элементы : гипотенузу, медиану, высоту

 
 
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение16.10.2014, 19:24 
cool.phenon в сообщении #919296 писал(а):
Простая система уравнений с 2 неизвестными, ничего особенного. Стороны за $x,y$, а потом по известным всем формулам выписываем объявленные элементы : гипотенузу, медиану, высоту


Не то чтобы это не один из способов решения задачи, но просто я имел в виду немного другое. Именно такой способ прямой подстановки уже известных формул и дальнейшими алгебраическими преобразованиями не рационален с точки зрения геометрии. Не неверен, но не рационален.
Но это хоть что-то :-)

$AB = x , BC = y , AC = c ; m_{c} - h_{c}=7 $, где $h_{c}=\frac{ xy }{ c } , m_{c} = \frac{ c }{ 2 } $
$$\frac{ c }{ 2 } - \frac{ xy }{ c } = 7$$
$$\frac{ (c-14)-2xy}{ 2} = 0$$
$$c=14$$

Ответ неверный. Почему такой способ не подходит?

 
 
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение16.10.2014, 19:29 
Аватара пользователя
Потому что к общему знаменателю надо правильно приводить, и еще одно уравнение с периметром здесь никак не вошло

 
 
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение16.10.2014, 19:39 
Аватара пользователя
Не подходит способ решения уравнения. Откуда взялся такой ответ?
А способ достаточно рационален. Только надо идти в правильном направлении.
Вы не использовали периметр. А ведь получается, что $x+y=72-c$. Возводим в квадрат, применяем теорему Пифагора и выражаем произведение катетов через гипотенузу. Подставляем это дело в получившееся уже у Вас уравнение и получаем квадратное уравнение относительно $c$

-- Чт окт 16, 2014 20:40:40 --

А, вот уже и подсказали:-)

 
 
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение16.10.2014, 19:44 
cool.phenon в сообщении #919650 писал(а):
Потому что к общему знаменателю надо правильно приводить, и еще одно уравнение с периметром здесь никак не вошло


Перепроверил уравнение еще раз -- ошибок не нашел. Я просто не стал загромождать сообщение полной росписью уравнения (собственно, в этом и нет необходимости). Тоже удивило то, что данные с периметром никуда не вошли, но это не доказывает неверное решение задачи, как, например, ответ в конце учебника :-)
Так в чем же ошибка, почему так нельзя? Да и если нельзя, то как можно и нужно?

 
 
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение16.10.2014, 19:53 
Аватара пользователя
А можно просто подставить $c=14$ в Ваше уравнение и увидеть, что в этом случае произведение катетов равно нулую А как же такое может быть?

 
 
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение16.10.2014, 20:05 
gris в сообщении #919658 писал(а):
А можно просто подставить $c=14$ в Ваше уравнение и увидеть, что в этом случае произведение катетов равно нулую А как же такое может быть?


Тогда можно оставить формулу, приведенную мной, но искать $x$ и $y$ уже по Вашему замечанию?

 
 
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение16.10.2014, 20:40 
Аватара пользователя
А зачем икать $x$ и $y$, если надо найти $c$?
Тут наверняка можно поискать решение через подобие треугольников, или чисто геометрическое, достроив фигуру отражением относительно центра гипотенузы.

 
 
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение16.10.2014, 20:51 
Аватара пользователя
cool.phenon в сообщении #919650 писал(а):
Потому что к общему знаменателю надо правильно приводить,

Phaenomenon в сообщении #919654 писал(а):
Перепроверил уравнение еще раз -- ошибок не нашел.

Phaenomenon в сообщении #919648 писал(а):
$$\frac{ c }{ 2 } - \frac{ xy }{ c } = 7$$
$$\frac{ (c-14)-2xy}{ 2} = 0$$


Вы неправильно сократили $c$ в числителе и в знаменателе. В числителе вообще не было общего множителя для трёх слагаемых.

 
 
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение16.10.2014, 22:22 
Shtorm в сообщении #919693 писал(а):
Вы неправильно сократили $c$ в числителе и в знаменателе. В числителе вообще не было общего множителя для трёх слагаемых.


Да, только что обратил внимание, что неправильно записал сюда решение. Конечно же в знаменателе $2c$ и $с$ в числителе, но, к счастью, ответа она не меняет.

 
 
 
 Re: Элементарная геометрия
Сообщение16.10.2014, 22:59 
Аватара пользователя
Phaenomenon, ну так Вы нашли верное решение?

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group