MSE молчит, поэтому размещаю это здесь.
Рассмотрим функциональное пространство гладких функций
![$C^{\infty}[a,b]$ $C^{\infty}[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/a/77ae2e3394b7117a38978c6e0cdb5f6482.png)
и множество
![$$\tau=\left\{B(f,\varepsilon_0,\varepsilon_1...\varepsilon_r):f\in C^{\infty}[a,b],r\in\mathbb{N}\right\} $$ $$\tau=\left\{B(f,\varepsilon_0,\varepsilon_1...\varepsilon_r):f\in C^{\infty}[a,b],r\in\mathbb{N}\right\} $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/3/5e3f2318facf8c60f18b175ec108663c82.png)
где

-- произвольная функция,

-- произвольное натуральное число, и
![$$B(f,\varepsilon_0,\varepsilon_1...\varepsilon_r)=\left\{h\in C^{\infty}[a,b]: |f^{(k)}(x)-h^{(k)}(x)|<\varepsilon_{k} \forall x\in[a,b] \forall k\in \overline{0,r}\right\} $$ $$B(f,\varepsilon_0,\varepsilon_1...\varepsilon_r)=\left\{h\in C^{\infty}[a,b]: |f^{(k)}(x)-h^{(k)}(x)|<\varepsilon_{k} \forall x\in[a,b] \forall k\in \overline{0,r}\right\} $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/8/638d3a097f5ace5bbdfe92a7045630af82.png)
Задача заключается в том, чтобы доказать, что

является базой топологии на
![$C^{\infty}[a,b]$ $C^{\infty}[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/a/77ae2e3394b7117a38978c6e0cdb5f6482.png)
. Используем известный критерий:
![$$1. \forall h\in C^{\infty}[a,b] \quad \exists B(f,\varepsilon_0,\varepsilon_1...\varepsilon_r):h\in B(f,\varepsilon_0,\varepsilon_1...\varepsilon_r) $$ $$1. \forall h\in C^{\infty}[a,b] \quad \exists B(f,\varepsilon_0,\varepsilon_1...\varepsilon_r):h\in B(f,\varepsilon_0,\varepsilon_1...\varepsilon_r) $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/8/e2895a7235695a738ada5156318d812382.png)
Становится очевидным, если за

взять

.


Здесь я застрял. Могу показать справедливость для некоторого

. Например, могу найти

для

, но без гарантии, что

будет удовлетворять условию при других

. Буду признателен, если поможете разобрать эту задачу.