связность на торе

[amon]

Исторически зоной Бриллюэна называют именно область $k$-пространства, а кусок дисперсионной кривой - просто зоной. Про топологические изоляторы долго писать, сейчас времени нет. Пусть ТС прояснит, если захочет.

[Munin]

Ну, надеюсь, на днях у вас время может выдаться. Буду ждать.

[пианист]

Munin

(Оффтоп)

Спасибо! Тормознул что-то.

мат-ламер

(Оффтоп)

(Надеюсь, я правильно понял вопрос) На каждой карте нет проблем задать связность как Вам заблагорассудится, но ведь нужно же будет еще и сшить карты между собой, при этом необходимо правильно пересчитать символы Кристоффеля в новые координаты. В случае $S^2$, например, сделать как в случае тора не получится, нулевыми символами Кристоффеля связность не задашь, формулы перехода будут нелинейными.

[Munin]

(Оффтоп)

пианист в сообщении #918797 писал(а):

(Надеюсь, я правильно понял вопрос) На каждой карте нет проблем задать связность как Вам заблагорассудится, но ведь нужно же будет еще и сшить карты между собой

(Надеюсь, я правильно понял...) На каждой карте связность задаётся не как заблагорассудится, а переносится на неё с того многообразия, которое мы картами и покрываем. И на области сшивки переносится тоже. Ведь связность сама по себе, как геометрический объект, существует на многообразии независимо от карт и координат.

Просто часто бывает, что мы "подразумеваем" какое-то многообразие, и связность на нём, но описать их не можем ("глядит, всё понимает, а сказать не может"), а чёткое описание появляется в тот момент, когда мы задаём карты, и связность на картах в координатном виде. (И кроме связности, все остальные структуры, которые мы на многообразии хотим ввести.) Тогда может быть, что мы "задаём связность на карте, как заблагорассудится", но в том смысле, что мы задаём само многообразие со связностью как заблагорассудится.

А в данных случаях - не так. Тор, склеенный из евклидова прямоугольника (параллелограмма, но это не важно), - уже подразумевает некую связность, однозначно заданную евклидовой геометрией на прямоугольнике, и способом склейки. Другой обсуждаемый случай, тор в евклидовом пространстве, тоже подразумевает некую связность, однозначно заданную внутренней геометрией 2-поверхности в евклидовом 3-пространстве. И только случай, который упомянул g______d, когда связность не индуцирована метрикой, оставляет нам свободу, - но тогда, по сути, не важно, что тор куда-то вложен, от понятия "тор" у нас остаётся только топологическая информация, а не диф.-геометрическая.

пианист в сообщении #918797 писал(а):

В случае $S^2$, например, сделать как в случае тора не получится, нулевыми символами Кристоффеля связность не задашь, формулы перехода будут нелинейными.

Это вопрос, существует ли связность какого-либо вида на том или ином многообразии.

[пианист]

(Оффтоп)

Вы имеете в виду связность на торе, заданную метрикой, индуцированной из объемлющего эвклидового $R^3$?
Связность без кручения, по отношению к которой метрика ковариантно постоянна?
Да, конечно, такая связность будет однозначно определена.
Какие-то топологические ограничения на возможные связности на многообразии (Вы про это?), наверное, есть, что-то типа теоремы Гаусса-Бонне, но я таких теорем не знаю.
Жаль, что профи, которые могли бы осветить данный вопрос, в этот тред не заглядывают :)

[g______d]

1. Вы сейчас про связности от ТС, или про связности в касательном расслоении? Если про связности ТС, то я не очень понимаю, откуда там символы Кристоффеля вообще.

2. Что значит связность с нулевыми символами Кристоффеля? Они могут быть нулевыми в одной системе координат и ненулевыми в другой (они не тензора, им можно). Видимо, вопрос о том, существует ли такая связность в касательном расслоении, что в окрестности любой точки можно выбрать координаты, в которых символы Кристоффеля зануляются. По-видимому, локально можно всегда (т. к. локально любое расслоение тривиально). Глобально тоже можно, если касательное расслоение тривиально. Если не тривиально, то есть как минимум препятствие в виде классов Чженя (Chern Classes); это штуки, которые принадлежат кольцу когомологий де Рама и для их построения достаточно знать расслоение. Если какой-то из этих классов не тривиален, то форма кривизны никакой связности не может быть тождественно равна нулю и, следовательно, символы Кристоффеля занулить не удастся.

[пианист]

1. Я писал, имея в виду исходный пост, т.е. про связность в касательном расслоении.
Что ОПу было на самом деле нужно, я не очень понял, в дальнейшее обсуждение не вникал, так что не берусь комментировать.
2. Это я опять-таки отвечал на исходный пост :) я понял его так: можно ли задать на торе аффинную связность (глобально), чтобы ее коэффициенты Кристоффеля в некоторых координатах были нулевые (локально, да, но чтобы так можно было сделать на всех картах).
По поводу классов Черна: спасибо, посмотрю. Я про них слышал, но никогда не разбирался, вот как раз будет случай :). Похоже, это как раз те самые топологические ограничения.

[g______d]

пианист в сообщении #919121 писал(а):

я понял его так: можно ли задать на торе аффинную связность (глобально), чтобы ее коэффициенты Кристоффеля в некоторых координатах были нулевые (локально, да, но чтобы так можно было сделать на всех картах).

В такой формулировке Вы на него ответили, да. Кстати говоря, если уж Munin хочет куда-то его вложить, то более стандартное вложение тора -- не в $\mathbb R^3$, а в $\mathbb R^4$ (произведение двух окружностей в $\mathbb R^2$). И там связность Леви-Чивиты (индуцированная из метрики $\mathbb R^4$) будет плоской совершенно честно.

[Munin]

g______d в сообщении #919107 писал(а):

Глобально тоже можно, если касательное расслоение тривиально.

Ну и тривиально ли оно у тора? (Я так подозреваю, что да.)

g______d в сообщении #919125 писал(а):

более стандартное вложение тора -- не в $\mathbb R^3$, а в $\mathbb R^4$ (произведение двух окружностей в $\mathbb R^2$)

Вот это - вещь очевидная (на каком-то уровне) математически, но может быть неизвестная тем, кто соприкасался с тором только на популярном уровне. Я имею в виду мат-ламер-а и возможно, quantum newbie.

[пианист]

У тора вроде бы да: репер строим как набор единичных касательных векторов к параллелям-меридианам; он, очевидно, получается вполне себе непрерывным, безо всяких особых точек.
А в список и меня тоже плз внесите :) не понимаю, почему связность из $R^4$ так уж очевидно будет плоской, в отличие от.

[Munin]

пианист в сообщении #919212 писал(а):

не понимаю, почему связность из $R^4$ так уж очевидно будет плоской, в отличие от.

Ну а почему связность на цилиндре (обычном круговом в $R^3$) будет очевидно плоской, понимаете?

[amon]

Я обещал про топологические изоляторы рассказать, но нашел замечательный комикс в картинках Сережи Тарасенко. Лучше у меня все равно не получится.

(Оффтоп)

Пошел дальше отчет писать

[Munin]

Спасибо, отличный комикс!

К сожалению, не во всё сразу врубился. Вставку про фазу Берри - понял, но вот какую роль играет $Z$ в физике - не понял. И даже вообще, имеется ли в виду одно целое число или всё множество целых чисел.

[g______d]

Munin в сообщении #919160 писал(а):

вещь очевидная (на каком-то уровне) математически

Ну это для окружности несложно понять, а потом перемножить две окружности.

[пианист]

Munin
Ну, цилиндр изометрическое вложение плоскости в $R^3$, тут очевидно.
g______d
А, догнал! Трудно было поставить кривую на место поверхности ;)