Уравнения с матрицами

[MestnyBomzh]

Требуется решить уравнение:
$X^{2} = -E$
a) $X$ - самосопряженный оператор в $\mathbb{C}^n$
b) $X$ - произвольный оператор в $\mathbb{C}^n$
В пункте а) понятен первый шаг: $X=X^{*} \Rightarrow X \cdot X^{*}=-E \Rightarrow X^{*}=-X^{-1}$ . Дальше что делать непонятно, а в пунтке б) вообще глухо

[g______d]

Начните с того, какими могут быть собственные числа у этого оператора.

[MestnyBomzh]

g______d
Ну, во-первых, они действительные. А во вторых: $X^2 = -E \Rightarrow \det(X^2) = \det(-E) \Rightarrow \det^2 X = (-1)^n$. Если $n=2k+1$, то таких матриц не существует. Если $n=2k$, то $|\det X| = 1 $, а значит, произведение собственных чисел равно по модулю одному. А так как они все вещесвтенные, то они могут равняться либо $1$, либо $-1$

-- 15.10.2014, 00:48 --

А это очень похоже на свойство орогонального оператора: у него все собственные числа по модулю равны единице. Однако является ли этот признак достаточным, чтобы сказать, что $X$ - ортогональный оператор?

[g______d]

MestnyBomzh в сообщении #919056 писал(а):

Ну, во-первых, они действительные.

Да.

MestnyBomzh в сообщении #919056 писал(а):

А во вторых: $X^2 = -E \Rightarrow \det(X^2) = \det(-E) \Rightarrow \det^2 X = (-1)^n$.

Мало. Посмотрите не на определитель (т. е. произведение всех собственных чисел), а на каждое собственное число по отдельности.

-- Вт, 14 окт 2014 14:03:52 --

MestnyBomzh в сообщении #919056 писал(а):

А это очень похоже на свойство орогонального оператора: у него все собственные числа по модулю равны единице. Однако является ли этот признак достаточным, чтобы сказать, что $X$ - ортогональный оператор?

Нет, недостаточно. Пример: $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$.

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #919030 писал(а):

$X=X^{*} \Rightarrow X \cdot X^{*}=-E \Rightarrow X^{*}=-X^{-1}$ .

Последний переход совсем лишний: $X\cdot X^*$ -- довольно характерное выражение, и про него Вам должно быть кое-что известно (скажем, про его квадратичную форму).

MestnyBomzh в сообщении #919030 писал(а):

в пунтке б) вообще глухо

Во-первых, не помешает (хотя и не обязательно) разделить оператор на мнимую единицу. Во-вторых, полезно (хотя и не обязательно) вспомнить, что получится при возведении в квадрат жордановой клетки.