Принцип Дедекинда, как аксиома (геометрия)

[gefest_md]

В учебнике Ефимова доказывается следующая теорема:

Цитата:

Если к аксиомам I-III присоединить принцип Дедекинда, то предложение Кантора может быть доказано.

Доказательство начинается так:

Цитата:

Пусть на какой-нибудь прямой $a$ дана бесконечная последовательность отрезков $A_1B_1,\ A_2B_2$ и т.д., и каждый отрезок $A_{n+1}B_{n+1}$ лежит внутри $A_nB_n.$ Пусть, далее, не существует отрезка, меньшего всех отрезков последовательности. Мы должны доказать, что имеется точка, лежащая внутри любого отрезка $A_nB_n.$ ...

Подскажите, пожалуйста, в каком месте этого доказательства используется условие из подчёркнутого текста?

[longstreet]

Где доказательство-то?

[gefest_md]

longstreet в сообщении #918546 писал(а):

Где доказательство-то?

Оно в упомянутом учебнике, но переписывать его я не собираюсь. В доказательстве строятся два класса и доказывается, что точка сечения - искомая.

[Brukvalub]

gefest_md в сообщении #918544 писал(а):

....
Подскажите, пожалуйста, в каком месте этого доказательства используется условие из подчёркнутого текста?

gefest_md в сообщении #918552 писал(а):

longstreet в сообщении #918546 писал(а):

Где доказательство-то?

Оно в упомянутом учебнике, но переписывать его я не собираюсь. ...

Просто ВОСХИТИТЕЛЬНО! "Помогите мне нечто осмыслить, но для этого вы должны сами порыскать и отыскать осмысливаемый мной текст!"
По теме: подчеркнутое условие означает, что рассматриваемая последовательность отрезков стягивается.

[gefest_md]

Нашёл выход.

[gefest_md]

Brukvalub в сообщении #918565 писал(а):

подчеркнутое условие означает, что рассматриваемая последовательность отрезков стягивается

Понятно. Просто как-то непривычно увидеть его в доказательстве неиспользованным, доказывать $A, B\vdash C$, не используя $B.$ Но не более того.

[shkolnik]

В доказательстве сказано: "установим на прямой некоторое направление".
А если, мы установим на этой же прямой обратное направление и применим тоже доказательство, будет ли точка сечения одной и той же ?
Мне, кажется, что нет, т.к. точка сечения $C$ никак не может принадлежать классу точек $A$ при выбранном в доказательстве "направлении", но она и не может принадлежать классу точек $B$ при использовании "обратного" направления.
Может быть для этого, эта оговорка, о не существовании отрезка $C_A C_B$ ?

[gefest_md]

shkolnik в сообщении #918931 писал(а):

будет ли точка сечения одной и той же ?

На прямой два направления. Первое направление это когда $A_n$ предшествует $B_n.$ Второе – когда $B_n$ предшествует $A_n.$ В обоих случаях искомая точка существует, что и требуется доказать. Условие стягивания отрезков здесь не используется. Оно используется для доказательства единственности.