2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Принцип Дедекинда, как аксиома (геометрия)
Сообщение13.10.2014, 18:23 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
В учебнике Ефимова доказывается следующая теорема:
Цитата:
Если к аксиомам I-III присоединить принцип Дедекинда, то предложение Кантора может быть доказано.

Доказательство начинается так:
Цитата:
Пусть на какой-нибудь прямой $a$ дана бесконечная последовательность отрезков $A_1B_1,\ A_2B_2$ и т.д., и каждый отрезок $A_{n+1}B_{n+1}$ лежит внутри $A_nB_n.$ Пусть, далее, не существует отрезка, меньшего всех отрезков последовательности. Мы должны доказать, что имеется точка, лежащая внутри любого отрезка $A_nB_n.$ ...

Подскажите, пожалуйста, в каком месте этого доказательства используется условие из подчёркнутого текста?

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип Дедекинда, как аксиома (геометрия)
Сообщение13.10.2014, 18:25 


28/11/11
2884
Где доказательство-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип Дедекинда, как аксиома (геометрия)
Сообщение13.10.2014, 18:41 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
longstreet в сообщении #918546 писал(а):
Где доказательство-то?

Оно в упомянутом учебнике, но переписывать его я не собираюсь. В доказательстве строятся два класса и доказывается, что точка сечения - искомая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип Дедекинда, как аксиома (геометрия)
Сообщение13.10.2014, 19:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
gefest_md в сообщении #918544 писал(а):
....
Подскажите, пожалуйста, в каком месте этого доказательства используется условие из подчёркнутого текста?

gefest_md в сообщении #918552 писал(а):
longstreet в сообщении #918546 писал(а):
Где доказательство-то?

Оно в упомянутом учебнике, но переписывать его я не собираюсь. ...

Просто ВОСХИТИТЕЛЬНО! :D "Помогите мне нечто осмыслить, но для этого вы должны сами порыскать и отыскать осмысливаемый мной текст!" :shock:
По теме: подчеркнутое условие означает, что рассматриваемая последовательность отрезков стягивается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип Дедекинда, как аксиома (геометрия)
Сообщение13.10.2014, 19:29 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
Нашёл выход.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип Дедекинда, как аксиома (геометрия)
Сообщение13.10.2014, 22:56 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
Brukvalub в сообщении #918565 писал(а):
подчеркнутое условие означает, что рассматриваемая последовательность отрезков стягивается

Понятно. Просто как-то непривычно увидеть его в доказательстве неиспользованным, доказывать $A, B\vdash C$, не используя $B.$ Но не более того.

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип Дедекинда, как аксиома (геометрия)
Сообщение14.10.2014, 18:42 


01/11/10
118
В доказательстве сказано: "установим на прямой некоторое направление".
А если, мы установим на этой же прямой обратное направление и применим тоже доказательство, будет ли точка сечения одной и той же ?
Мне, кажется, что нет, т.к. точка сечения $C$ никак не может принадлежать классу точек $A$ при выбранном в доказательстве "направлении", но она и не может принадлежать классу точек $B$ при использовании "обратного" направления.
Может быть для этого, эта оговорка, о не существовании отрезка $C_A C_B$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип Дедекинда, как аксиома (геометрия)
Сообщение14.10.2014, 21:29 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
shkolnik в сообщении #918931 писал(а):
будет ли точка сечения одной и той же ?

На прямой два направления. Первое направление это когда $A_n$ предшествует $B_n.$ Второе – когда $B_n$ предшествует $A_n.$ В обоих случаях искомая точка существует, что и требуется доказать. Условие стягивания отрезков здесь не используется. Оно используется для доказательства единственности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group