Олимпиада НГУ - 2014

[Sonic86]

(Оффтоп)

iifat в сообщении #918357 писал(а):

Самопересекающиеся сюда подпадают? Или не подпадают под условия задачи? Можно, конечно, добавить точки пересечения сторон, они, навскидку (тоже лень формулу выводить), также с рациональными координатами.

Да, про них я забыл, эту оговорку тоже надо добавлять.

[nnosipov]

mihiv в сообщении #918395 писал(а):

2.1 Пусть матрица $Q=AB-BA$. По теореме Гамильтона-Кэли: $Q^2=Q(TrQ)-I(detQ), TrQ=a_{il}b_{li}-b_{il}a_{li}=0$ (по повторяющимся индексам суммирование). Следовательно, $Q^2$ кратна единичной матрице.

Вот интересно, если студент тупо посчитает квадрат $AB-BA$ (допустим, он забыл про Гамильтона-Кэли, но помнит, что только скалярные матрицы перестановочны с любой матрицей), ему штрафных баллов не дадут? И были ли такие решения?

-- Пн окт 13, 2014 16:50:53 --

iifat в сообщении #918357 писал(а):

Самопересекающиеся сюда подпадают?

А как определяется их площадь? Даже с обычным многоугольником нужно возиться (если он невыпуклый), чтобы разрезать на треугольники. Может, это и есть главная фишка в задаче, а рациональность площади --- так, дополнительный бантик.

[iifat]

nnosipov в сообщении #918428 писал(а):

А как определяется их площадь?

Хороший вопрос. Или плохой — зависит от точки зрения
Думаю, как площадь внутренней области — её-то можно определить. Я, впрочем, встречал единственное определение, с подсчётом пересечений луча с границей. Может, есть другие, несовпадающие?
Впрочем, как ни определяй, будет куча рациональных треугольников.

[mihiv]

nnosipov в сообщении #918428 писал(а):

Вот интересно, если студент тупо посчитает квадрат $AB-BA$\dots

Может быть, надо было по-другому сформулировать задание, например: найти все матрицы, перестановочные с $(AB-BA)^2$.

[nnosipov]

Может превратиться в головоломку. Лучше уж пусть разные естественные подходы будут.

А что скажет начальник транспортного цеха автор задач? Любопытно, как публика всё это восприняла.

[bot]

nnosipov в сообщении #918532 писал(а):

Любопытно, как публика всё это восприняла.

Большинство вспомнили, что след при перестановки сомножителей не меняется (на это и расчёт был), ну а дальше тупо в квадрат - чего мудрить? Сказано ведь - перестановочна со всеми, значит нужно доказать, что она скалярна.

[nnosipov]

Угу, спасибо. А как теорию чисел (или алгебру, последняя задача для 2-4 курсов) решили?

[bot]

Двое (из 21) - один со 2-го курса с мехмата (участник IMC), другой - физик(!) с 4-го.

[nnosipov]

Ну, молодец физик

[bot]

Ну да - он 1 место взял с отрывом на 1 задачу от ближайшего преследователя - 26 баллов из 30.

[Gematria]

(Оффтоп)

bot Вы прям мои мысли читаете, старушка умная как собака только сказать не может. Да и между нами девочками, честно говоря и писать тоже. Можно было короче, должны быть взаимно просты, но при этом обязательно делиться друг на друга, чтобы дробь была целым числом.

[mihiv]

3. При $n>2, x_n\geqslant 0$. Пусть $M=\max (x_3,x_4,x_5)$. Ясно, что, начиная с $n=3$, все $x_n\leqslant M$. Возьмем произвольную тройку идущих друг за другом членов последовательности: $x_i, x_{i+1}, x_{i+2}, i>2$. Существует не более $(M+1)^3$ таких различных троек. Поэтому с некоторого номера $i$ тройки станут повторяться.

[bot]

Только я там ничего не читал.
Ах вот оно откуда когда дробь целое число

-- Вт окт 14, 2014 17:34:31 --

P.S. Мою мысль надо читать снизу вверх. Лишнее зачёркиваю, чтобы было короче. Хм ... А так ещё короче.

Gematria в сообщении #918823 писал(а):

Можно было короче, должны быть взаимно просты, но при этом обязательно делиться друг на друга, чтобы дробь была целым числом.

Вы преувеливаете мои способности в чтении мыслей - ниасилил я вот эту мысль:

Gematria в сообщении #918823 писал(а):

bot Вы прям мои мысли читаете

[Shadow]

(Оффтоп)

bot, Gematria про задачу nnosipov пишет - соседняя тема. Просто не в ту тему написала - ничего, это мелочи, главне что форум не перепутала. А Вы там не писали, значит еще что-то перепутала. Бывает.

[ewert]

bot в сообщении #917901 писал(а):

4. Докажите, что знакопостоянный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$, все члены которого отличны от $-1$, сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{1+a_n}$.

Из сходимости первого ряда следует стремление к нулю $a_n$, а тогда (в условиях знакопостоянства) сходится и второй просто по признаку сравнения. В обратную сторону достаточно заметить, что из стремления к нулю $b_n=\frac{a_n}{1+a_n}$ следует стремление к нулю $a_n$ и, следовательно, знакопостоянство $b_n$, после чего утверждение сводится к предыдущему, т.к. $a_n=\frac{b_n}{1-b_n}=-\frac{(-b_n)}{1+(-b_n)}$. Контрпримером может послужить, например, $a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ (и, соответственно, $b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$).